法线

三维平面法线垂直于该平面的三维向量。曲面在某点P处的法线为垂直于该点切平面(tangent plane)的向量。

法线是与多边形(polygon)的曲面垂直的理论线,一个平面(plane)存在无限个法向量(normal vector)。在电脑图学(computer graphics)的领域里,法线决定著曲面与光源(light source)的浓淡处理(Flat Shading),对于每个点光源位置,其亮度取决于曲面法线的方向。

法线的计算[编辑]

对于像三角形这样的多边形来说,多边形两条相互不平行的边的叉积就是多边形的法线。

用方程{\displaystyle ax+by+cz=d}ax+by+cz=d表示的平面,向量{\displaystyle (a,b,c)}(a,b,c)就是其法线。

如果S曲线坐标x(s, t)表示的曲面,其中st实数变量,那么用偏导数叉积表示的法线为

{\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}}{\partial {\mathbf  {x}} \over \partial s}\times {\partial {\mathbf  {x}} \over \partial t}

如果曲面S隐函数表示,点集合{\displaystyle (x,y,z)}(x,y,z)满足{\displaystyle F(x,y,z)=0}F(x,y,z)=0,那么在点{\displaystyle (x,y,z)}(x,y,z)处的曲面法线用梯度表示为

{\displaystyle \nabla F(x,y,z)}\nabla F(x,y,z)

如果曲面在某点没有切平面,那么在该点就没有法线。例如,圆锥顶点以及底面的边线处都没有法线,但是圆锥的法线是几乎处处存在的。通常一个满足Lipschitz连续的曲面可以认为法线几乎处处存在。

法线的唯一性[编辑]

 
曲面(surface)上的法线向量场(vector field of normals)

曲面法线的法向不具有唯一性(uniqueness),在相反方向的法线也是曲面法线。曲面在三维的边界(topological boundary)内可以分区出inward-pointing normal 与 outer-pointing normal, 有助于定义出法线唯一方法(unique way)。定向曲面的法线通常按照右手定则来确定。

法线的变换[编辑]

变换矩阵可以用来变换多边形,也可以变换多边形表面的切向量(tangent vector)。 设 n′ 为 W n。我们必须发现 W


W n 垂直(perpendicular)于 M t

{\displaystyle \iff (Wn)\cdot (Mt)=0}{\displaystyle \iff (Wn)\cdot (Mt)=0}
{\displaystyle \iff (Wn)^{T}(Mt)=0}{\displaystyle \iff (Wn)^{T}(Mt)=0}
{\displaystyle \iff (n^{T}W^{T})(Mt)=0}{\displaystyle \iff (n^{T}W^{T})(Mt)=0}
{\displaystyle \iff n^{T}(W^{T}M)t=0}{\displaystyle \iff n^{T}(W^{T}M)t=0}


很明白的选定 W s.t. {\displaystyle W^{T}M=I}{\displaystyle W^{T}M=I}, 或 {\displaystyle W={M^{-1}}^{T}}{\displaystyle W={M^{-1}}^{T}} 将可以满足上列的方程式,按需求,再以 {\displaystyle Wn}{\displaystyle Wn} 垂直于(perpendicular){\displaystyle Mt}{\displaystyle Mt}, 或一个 n′ 垂直于 t′

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posted @ 2020-10-31 18:23  冷夜 - 网游编程技术  阅读(385)  评论(0编辑  收藏  举报