复数域傅里叶级数

复数域傅里叶级数

由欧拉公式:

\[e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta) \]

那么正余弦函数可以表示为:

\[cos(n\omega t) = \frac{e^{in\omega t} + e^{-in\omega t}}{2} \\ sin(n\omega t) = \frac{e^{in\omega t} - e^{-in\omega t}}{2i} \]

将上式代入傅里叶级数可得：

\[f(t) = c_0 + \sum{[a_n\frac{e^{in\omega t} + e^{-in\omega t}}{2} + b_n\frac{e^{in\omega t} - e^{-in\omega t}}{2i}]} \\ \]

上式\(b_n\)项，上下同乘\(i\),得:

\[f(t) = c_0 + \sum{[\frac{a_n - jb_n}{2}e^{jn\omega t} + \frac{a_n + jb_n}{2}e^{-jn\omega t}]} \quad\quad (1) \]

前面推导得出:

\[b_n = \frac{2}{T}\int{f(t)sin(n\omega t)}dt \\ a_n = \frac{2}{T}\int{f(t)cos(n\omega t)}dt \]

当\(n \leq 0\)时，上式也成立
假设存在-n项，则:

\[a_{-n}=\frac{2}{T}\int{f(t)cos(-n\omega t)}dt = a_n \\ b_{-n}=\frac{2}{T}\int{f(t)sin(-n\omega t)}dt = -b_n \]

(1) 可以写作

\[f(t) = c_0 + \sum{[\frac{a_n - jb_n}{2}e^{jn\omega t}]} + \sum_{n=-1}^{-\infty}{[\frac{a_{-n} + jb_{-n}}{2}e^{-jn\omega t}]} = \\ c_0e^{0j\omega t} + \sum{[\frac{a_n - jb_n}{2}e^{jn\omega t}]} + \sum_{n=-1}^{-\infty}{[\frac{a_{n} - jb_{n}}{2}e^{-jn\omega t}]} = \\ \sum_{-\infty}^{\infty}{[\frac{a_{n} - jb_{n}}{2}e^{jn\omega t}]} \]

对于系数\(A_n=[\frac{a_{n} - jb_{n}}{2}]\) 展开如下:

\[A_n=\frac{a_{n} - jb_{n}}{2}= \frac{ \frac{2}{T}\int{f(t)cos(n\omega t)}dt - j \frac{2}{T}\int{f(t)sin(n\omega t)}dt}{2} = \\ \frac{1}{T}\int{\lbrace f(t)[cos(n\omega t) - jsin(n\omega t)]\rbrace}dt = \\ \frac{1}{T}\int{\lbrace f(t)[cos(-n\omega t) + jsin(-n\omega t)]\rbrace} dt = \\ \frac{1}{T}\int{\lbrace f(t)[e^{-jn\omega t}]\rbrace} dt \]

这就是周期信号在复数域的表达，值得注意的是，将频率\(n \omega t\)的原本的傅里叶级数项展开成了正负(\(+n\omega t, -n\omega t\))两项，而负频率在显示世界中是没有意义的。其模\(|A_n|\)表示了第n项的功率的一般，其虚部和实部的比的反正切是第n项的相位