周期函数的傅里叶级数

1. 三角函数基本性质

本文主要用于复习一下傅里叶级数、傅里叶变换的基础
基本定理

1. 三角函数的正交性: 频率不同的三角函数乘积在一个周期内的积分是0，即：

\[\int_{-\pi}^{\pi}sin(mx\pm\frac{\pi}{2})cos(nx\pm\frac{\pi}{2})dx = 0 \quad m \neq n \quad\quad (0) \\ \int_{0}^T{sin(x\pm\frac{\pi}{2})}dt = 0 \]

对于任意\(m n \quad m \geq 1 \quad n \geq 1\),

\[\int_{-\pi}^{\pi}sin(mx)cos(nx)dx = 0 \quad\quad(1) \]

2. 和差化积、积化和差 公式
   根据欧拉公式:

\[e^{i\theta} = cos(\theta) + isin(\theta) \\ e^{i(\theta+\alpha)} = cos(\theta + \alpha) + isin(\theta + \alpha) = e^{i\alpha}e^{i\alpha} = \\ [cos(\theta) + isin(\theta)][cos(\alpha) + isin(\alpha)] = \\ cos(\theta)cos(\alpha) - sin(\theta)sin(\alpha) +i[cos(\theta)sin(\alpha) + sin(\theta)cos(\alpha)] \rightarrow\\ cos(\theta + \alpha) = cos(\theta)cos(\alpha) - sin(\theta)sin(\alpha) \\ sin(\theta + \alpha) = cos(\theta)sin(\alpha) + sin(\theta)cos(\alpha) \\ cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2 \]

由和差化积可以得到 积化和差公式:

\[sin(\theta)sin(\alpha) = \frac{sin(\theta + \alpha) - cos(\theta + \alpha)}{2}\\ .... \]

2. 实数域傅里叶级数

满足狄利克雷条件的周期函数，可以展开成傅里叶级数，傅里叶级数表示为:

\[f(t) = c_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{c_ncos(n\omega t + \phi)} = \\ c_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{c_ncos(\phi)cos(n\omega t) - c_nsin(\phi)sin(n\omega t)} \]

\(c_0\) 是其中的直流分量, 令\(a_n=c_ncos(\phi), b_n=-c_nsin(\phi)\), 上式写作:

\[f(t) = c_0 + \sum_{n=1}^{\infty}{[a_ncos(n\omega t) + b_nsin(n\omega t)]} \]

对上述级数的系数求解方式如下
令\(K(t) = f(t)sin(k\omega t)\)， 则：

\[\int_{0}^{T}K(t)dt = \\ \int_{0}^{T}c_0sin(k\omega t)dt + \int_{0}^{T}{sin(k\omega t) \sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(\omega t) + b_nsin(\omega t)]}dt \]

根据第一节的定理，可以得知:
\(\int_{0}^{T}c_0sin(k\omega t)dt = 0\)

\[\int_{0}^{T}{sin(k\omega t) \sum_{n=1}^{\infty}[a_ncos(n\omega t) + b_nsin(n\omega t)]}dt = \\ \int_{0}^{T}{\sum_0^{\infty}[sin(k\omega t)a_ncos(n\omega t)]}dt + \int_{0}^{T}{\sum_0^{\infty}[sin(k\omega t)b_nsin(n\omega t)]}dt = \\ \sum_{n=1}^{\infty}{\int_0^{T}[sin(k\omega t)a_ncos(n\omega t)]dt} + \sum_{n=1}^{\infty}{\int_0^{T}[sin(k\omega t)b_nsin(n\omega t)]dt} = \\ a(t) + b(t) \]

根据(1),\(a(t) = 0\), 根据(0), 当\(k=n，b(t) \neq 0\)，此时继续推导:

\[\sum_{n=1}^{\infty}{\int_0^{T}[sin(k\omega t)b_nsin(n\omega t)]dt} = b_n\int {sin(\omega t)}^2 dt \]

根据:

\[sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1\\ cos(2x) = cos(x)^2 - sin(x)^2 = (1-sin(x)^2) - sin(x)^2 \\ sin^2(x) = \frac{1-cos(2x)}{2} \\ b_n\int {sin(\omega t)}^2 dt = b_n \int{ \frac{1-cos(2t)}{2}}dt=\frac{b_nT}{2} \\ b_n = \frac{2}{T}\int{f(t)sin(n\omega t)}dt \]

类似的，求出\(a_n\)

\[a_n = \frac{2}{T}\int{f(t)cos(n\omega t)}dt \]

对于傅里叶级数的第n项，其能量和相位分别是:

\[c_n^2 = a_n^2 + b_n^2 \\ \Phi = arctan(-\frac{b_n}{a_n}) \]