题解：P4359&P8316 [CQOI2016] 伪光滑数（加强版）

原题 加强版

考虑设 \(p_i\) 表示从小到大第 \(i\) 个质数，设 \(f_{i,j}\) 表示有 \(i\) 个不去重质因数，最大质因数为 \(p_j\) 的合法的数的集合。其中 \(p_i\le397\)，所以最多只有 \(78\) 个质数。

发现 \(f\) 可以这样转移：

\[f_{i,j}=\{p_jx|x\in\bigcup_{k=1}^{j}f_{i-1,k}\} \]

考虑同时转移 \(\bigcup_{k=1}^{j}f_{i-1,k}\)，设 \(g_{i,j}=\bigcup_{k=1}^{j}f_{i,k}\)，则有：

\[f_{i,j}=\{p_jx|x\in g_{i-1,j}\} \]

\[g_{i,j}=g_{i,j-1}\cup f_{i,j} \]

由于 \(p_j^i>n\) 时 \(f_{i,j}=\varnothing\)，事实上合法的数不会太多，我们可以用可持久化左偏树维护 \(f\) 和 \(g\)。先枚举 \(i\)，再枚举 \(p_j^i\le n\) 的 \(j\)，更新 \(f\) 和 \(g\)。最终答案的集合 \(A=\bigcup f\)，用优先队列 BFS \(A\) 的左偏树，分 \(k\) 次取出队头，并将其在左偏树上的儿子加入优先队列即可。总时间复杂度为 \(O(78\log n^2+k\log n)\)。

注意原题有 \(n<128\) 的点，判断 \(p_j^i\) 是否大于 \(n\) 要开 int128，且要注意需要把 \(f_{1,j}\) 并到 \(A\) 上。