题解：P5319 [BJOI2019] 奥术神杖

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假设包含了 \(k\) 个串（可重复），则答案 \(\lambda=\sqrt[k]{\prod_{i=1}^kV_i}\)。发现开根和连乘不好维护，因而考虑两边同时取 \(\ln\)，则有 \(\ln\lambda=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k\ln V_i\)。稍微变化一下，有:

\[\ln\lambda=\frac{\sum_{i=1}^k\ln V_i}{\sum_{i=1}^k1} \]

发现这个式子是经典的分数规划模型，因此设 \(g(\ln\lambda)=\max\sum_{i=1}^k(\ln V_i-\ln\lambda)\)，\(g\) 为单调递减函数，且在 \(\lambda\) 取到答案时其值为 \(0\)，因而可以二分。

考虑如何求 \(g\)，我们对所有的串建 AC 自动机，将每个节点的权值设为它和它 fail 树上祖先的 \(\ln V_i-\ln\lambda\) 之和，然后暴力 DP 即可。时间复杂度为 \(O(ns\log_2\frac{\ln V}{eps})\)。

由于人傻常数大，我开 long double 最慢的一个点只能卡到 \(1.03s\)(悲)，还是开 double 吧qaq