MVG读书笔记——射影几何下的直线

引入齐次坐标之后我们可以得到直线的表示方式。一条直线上的点满足方程ax+by+c=0。由此，我们可以用一个向量l= [a,b,c]T 来表示一条直线。

判断点在直线上（直线过一点）

对一点 x=[x1,x2,1]T ，使用直线方程可以很简单的判断点是否在直线上。通常使用向量形式，即 x⋅l=0 。

直线的交点

两条直线 l,l′ 的交点 x=l×l′ 。证明如下：
x⋅l=l×l′⋅l=0 ，x在直线 l 上
x⋅l′=l×l′⋅l′=0，x在直线 l′ 上

求解过两点的一条直线

知道两点 x,x′ 可以确定一条直线 l=x×x′ 。证明同上，只需把x与l互换。

对偶性

由上面的讨论可以可以发现，直线与点存在某种对应的关系。事实上，在齐次坐标下，对于任何一条定理，将其中点与直线进行互换，定理依然成立，这叫做直线与点的对偶性。

无穷远点

使用上面直线交点的公式，我们发现我们可以求解平行直线的交点。设两个平行直线 l=[a,b,c]T l′=[a,b,c+d]T

则它们的交点 x=l×l′=[bd,−ad,0]T=[b,−a,0]T

即它们相交与无穷远点x。且方向为向量 [b,−a]T 所指的方向。这也是这两条直线的朝向。顺便， [a,b]T 是直线的法向。这是直线方程的几何意义。

x称为ideal point。引入了无穷远点之后，我们可以说在 IP2 空间两条直线总相交于一点。

无穷处的直线

对于两个无穷远点 x=[a,b,0]T,x′=[c,d,0]T ，我们也可以求出过它们的交线。
显然 l=x×x′=[0,0,ad−bc]T=[0,0,1]T 。
可以看到，l与 x,x′ 的具体坐标无关。即所有无穷远点都在一条直线l上。

如何对待无穷远处的情况

射影几何原则上不对无穷远和有限处的情况进行区分，但是实际应用中，有时候分情况讨论反而可以简化问题，在这些情形下，我们把无穷远点看作一种特殊情况。