概率论：期望、方差

目录

• 期望（Mean）
• 方差（Variance）
  • 方差的计算
• 参考

期望（Mean）

• 离散型随机变量

定义 设离散型随机变量X分布律

\[P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,... \]

若级数

\[\sum_{k=1}^∞x_kp_k \]

绝对收敛，则称级数\(\displaystyle\sum_{k=1}^∞x_kp_k\)的和为随机变量X的数学期望，记\(E(X)\)

\[E(X)=\sum_{k=1}^∞x_kp_k \]

• 连续型随机变量

定义 设连续性随机变量X的概率密度函数f(x)，若积分

\[\int_{-∞}^∞xf(x)dx \]

绝对收敛，则称积分\(\int_{-∞}^∞xf(x)dx\)的值为随机变量X的数学期望，记\(E(X)\)

\[E(X)=\int_{-∞}^∞xf(x)dx \]

数学期望简称期望，也称均值. 期望\(E(X)\)衡量的是随机变量的平均取值，由随机变量X的概率分布确定.

方差（Variance）

期望能表示样品的均值，但无法度量随机变量偏离均值的程度，这就需要用到方差.

定义 设X是一个随机变量，若\(E\{[X-E(X)]^2\}\)存在，则称\(E\{[X-E(X)]^2\}\)为X的方差，记为\(D(X)\)或\(Var(X)\)，即

\[D(X)=Var(X)=E\{[X-E(X)]^2\} \]

\(\sqrt{D(X)}\)记为\(\sigma(X)\)，称为标准差或均方差.

方差\(D(X)\)较小，代表X比较集中在\(E(X)\)附近；
方差\(D(X)\)较大，代表X取值分散.

方差，其实就是随机变量X的函数\(g(X)=(X-E(X))^2\)的期望

对于离散型随机变量，

\[D(X)=\sum_{k=1}^∞[x_k-E(X)]^2p_k \]

其中，\(P\{X=x_k\}=p_k,k=1,2,...,\)是X的分布律.

对于连续性随机变量，

\[D(X)=\int_{-∞}^∞[X-E(X)]^2f(x)dx \]

其中，\(f(x)\)是X的概率密度函数.

方差的计算

\(D(X)\)重要计算公式：

\[D(X)=E(X^2)-E^2(X) \]

证明：

\[\begin{aligned} D(X)&=E\{[X-E(X)]^2\}=E\{X^2-2XE(X)+E^2(X)\}\\ &=E(X^2)-2E(X)E(X)+E^2(X)\\ &=E(X^2)-E^2(X) \end{aligned} \]

tips: 对于概率分布确定的随机变量X，E(X)是一个常数.

参考

[1]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计 第四版[M].高等教育出版社,2008.