SoftGLRender源码：3D空间几何计算Geometry
简介
文件：Geometry.h, Geometry.cpp
这部分是视锥体裁剪与空间相交检测的工具模块，主要用于图形渲染、3D引擎中的 包围盒（BoudingBox）、平面（Plane）、视锥体（Frustum）之间的几何关系判断，比如：
-
是否相交？
-
是否在可视范围内？
-
用于裁剪不可见的物体（如视锥体剔除）
BoundingBox 轴对齐包围盒
BoundingBox是轴对齐包围盒（Axis-aligned bounding box，AABB），用于快速检测物体是否在视野或某区域内.
成员：
min,max：包围盒的最小、最大顶点坐标. 可以简单理解成包围盒的左下角、右上角顶点坐标.
核心方法：
-
getCorners(glm::vec3* dst)：获取8个角点 -
transform(matrix)：对包围盒进行矩阵变换（可能返回新的 AABB） -
intersects(box)：是否与另一个包围盒相交 -
merge(box)：合并两个包围盒 -
updateMinMax：帮助更新新包围盒的最小最大值
类BoudingBox声明如下：
// 轴对齐包围盒
class BoundingBox {
public:
BoundingBox() = default;
BoundingBox(const glm::vec3& a, const glm::vec3& b) : min(a), max(b) {}
void getCorners(glm::vec3* dst) const;
BoundingBox transform(const glm::mat4& matrix) const;
bool intersects(const BoundingBox& box) const;
void merge(const BoundingBox& box);
protected:
static void updateMinMax(glm::vec3* point, glm::vec3* min, glm::vec3* max);
public:
glm::vec3 min{ 0.f, 0.f, 0.f }; // 最小顶点坐标
glm::vec3 max{ 0.f, 0.f, 0.f }; // 最大顶点坐标
};
为什么min、max成员是public？
因为BoundingBox的min、max，需要根据几何体的坐标求出. 因此无法提前知道，需要后续计算（比较）得到，由构造者设置.
getCorners获取角点
包围盒的角点顺序，要与视锥体的角点顺序保持一致.
// dst 是包含8个顶点信息的数组指针
void BoundingBox::getCorners(glm::vec3* dst) const {
// keep same order with Frustum::corners[8]
dst[0] = glm::vec3(min.x, max.y, max.z); // nearTopLeft
dst[1] = glm::vec3(min.x, min.y, max.z); // nearTopRight
dst[2] = glm::vec3(max.x, min.y, max.z); // nearBottomLeft
dst[3] = glm::vec3(max.x, max.y, max.z); // nearBottomRight
dst[4] = glm::vec3(max.x, max.y, min.z); // farTopLeft
dst[5] = glm::vec3(max.x, min.y, min.z); // farTopRight
dst[6] = glm::vec3(min.x, min.y, min.z); // farBottomLeft
dst[7] = glm::vec3(min.x, max.y, min.z); // farBottomRight
}
transform 变换包围盒
有时，可能需要对包围盒做几何变换. 用transform能实现这点.
- 包围盒的变换，实际上是对8个角点进行变换；
- 包围盒变换后，新的min、max也只可能出现在角点
// matrix * (corners[0..8], 1)
BoundingBox BoundingBox::transform(const glm::mat4& matrix) const {
glm::vec3 corners[8];
getCorners(corners);
corners[0] = matrix * glm::vec4(corners[0], 1.f);
glm::vec3 newMin = corners[0];
glm::vec3 newMax = corners[0];
for (int i = 1; i < 8; i++) {
corners[i] = matrix * glm::vec4(corners[i], 1.f);
updateMinMax(&corners[i], &newMin, &newMax);
}
return { newMin, newMax };
}
void BoundingBox::updateMinMax(glm::vec3* point, glm::vec3* min, glm::vec3* max) {
if (point->x < min->x) {
min->x = point->x;
}
if (point->x > max->x) {
max->x = point->x;
}
if (point->y < min->y) {
min->y = point->y;
}
if (point->y > max->y) {
max->y = point->y;
}
if (point->z < min->z) {
min->z = point->z;
}
if (point->z > max->z) {
max->z = point->z;
}
}
intersects 相交测试
intersects 当前AABB包围盒与另一个AABB包围盒的相交测试.
原理：
- 对于两个一维区间
[min1, max1]和[min2, max2]，相交的充要条件：一方的起点落入另一方的范围，即
(min1 在[min2, max2]) || (min2 在[min1, max1])
- 对于三维的情况，x、y、z轴都有重叠，表明它们在空间中有交集：
x轴有重叠 && y轴有重叠 && z轴有重叠
intersects代码：
bool BoundingBox::intersects(const BoundingBox& box) const {
return ((min.x >= box.min.x && min.x <= box.max.x) || (box.min.x >= min.x && box.min.x <= max.x))
&& ((min.y >= box.min.y && min.y <= box.max.y) || (box.min.y >= min.y && box.min.y <= max.y))
&& ((min.z >= box.min.z && min.z <= box.max.z) || (box.min.z >= min.z && box.min.z <= max.z));
}
merge 合并包围盒
合并包围盒后，需要重新求min、max；而新min、max只可能来自原来包围盒的最值.
void BoundingBox::merge(const BoundingBox& box) {
min.x = std::min(min.x, box.min.x);
min.y = std::min(min.y, box.min.y);
min.z = std::min(min.z, box.min.z);
max.x = std::max(max.x, box.max.x);
max.y = std::max(max.y, box.max.y);
max.z = std::max(max.z, box.max.z);
}
Plane平面
简介
Plane点法式定义一个3D空间中的平面（用于裁剪/相交测试）.
数据成员：
normal_：单位法向量d_：原点到平面的有符号距离. 正号，代表原点在平面正侧；负号，代表在背侧；0，代表在平面上
核心函数：
set(normal, point)：通过法线 + 平面上一点定义平面distance(point)：计算点到平面的距离（符号说明点在平面的哪一侧）intersects(...)：判断平面与各种对象（点、线、三角形、包围盒）是否相交
// 点法式表示的平面
class Plane {
public:
private:
glm::vec3 normal_; // 平面的法向量
float d_ = 0; // 原点到平面的有符号距离
平面的点法式方程
平面方程使用点法式. 下面推导平面方程.
设平面上任一点\(P(x,y,z)\)，另一固定点\(P_0(x_0,y_0,z_0)\)，平面单位法向量\(\bm{n}=(a,b,c)\)
有，
即为平面方程.
设\(d=-(ax_0+by_0+cz_0)=-\bm{n}\cdot \bm{P_0}\)
∴平面方程可写成：\(π: ax+by+cz+d=0\)
或者，\(π: f(\bm{P})=\bm{n}\cdot \bm{P}+d=0\)
\(d=-\bm{n}\cdot \bm{P_0}\)是什么含义？
答：\(d\)是原点O到平面\(π\)的有符号距离. 下面证明：
1）当O在平面背侧：
\(\bm{n}\cdot \bm{P_0}=|\bm{n}||\bm{P_0}|cos\lang \bm{n}, \overrightarrow{OP_0}\rang = |\overrightarrow{OP_0}|cos θ=|\overrightarrow{O'P_0}|\)
\(θ\in (0, π/2]\implies cos θ\ge 0\implies |\overrightarrow{OP_0}|cos θ>0\)
\(O'P_0\)是\(OP_0\)在\(\bm{n}\)上的投影，即\(O\)到平面的距离
∴\(d=-\bm{n}\cdot \bm{P_0}=-|\overrightarrow{O'P_0}|<0\)
2）当O在平面正侧：
\(\bm{n}\cdot \bm{P_0}=|\bm{n}||\bm{P_0}|cos\lang \bm{n}, \overrightarrow{OP_0}\rang = |\overrightarrow{OP_0}|cos θ=|\overrightarrow{O'P_0}|\)
\(θ\in (π/2, π]\implies cos θ<0\)
∴\(d=-\bm{n}\cdot \bm{P_0}=|\overrightarrow{O'P_0}|>0\)
综上， \(d=-\bm{n}\cdot \bm{P_0}\)表示\(O\)到平面的有符号距离. 结果的符号，代表\(O\)点在平面的哪一侧：
- 正号，代表\(O\)在平面正侧（法向量所指的一侧）
- 负号，代表\(O\)在平面背侧（法向量所指的反侧）
- 0，代表\(O\)在平面上
于是，可以用下面方式设置点法式方程：
// 点法式设置平面
// d_ > 0: O在平面的正侧；
// d_ < 0：O在平面的背侧
void set(const glm::vec3& n, const glm::vec3& pt) { // pt是平面上任一点
normal_ = glm::normalize(n);
d_ = -(glm::dot(normal_, pt));
}
点到平面的距离
要求点到平面的距离，先求\(\overrightarrow{P_0P}\).
∵\(P_0\)在平面上
∴\(\bm{P_0}\cdot \bm{n}+d=0\)
∴
设\(\overrightarrow{P_0P}=k\bm{n}=\bm{\bm{P}-\bm{P_0}}\)
∴
于是，
1）当\(P\)在平面正侧，\(k>0\)，\(f(\bm{P})>0\)；
2）当\(P\)在平面背侧，\(k<0\)，\(f(\bm{P})<0\)；
3）当\(P\)在平面上，\(k=0\)，\(f(\bm{P})=0\)；
有，
∴P点到平面有向距离：\(distance_P=\bm{P}\cdot \bm{n}+d\)
关于符号：
1）当\(distance_P>0\)时，\(k>0\)，P在平面正侧；
2）当\(distance_P<0\)时，\(k<0\)，P在平面背侧；
3）当\(distance_P=0\)时，\(k=0\)，P在平面上；
// 计算点pt到平面的距离.
float distance(const glm::vec3& pt) const {
return glm::dot(normal_, pt) + d_;
}
相交测试
几何体与平面的位置关系：
- 相交
- 相切
- 完全在平面的正面
- 完全在平面的背面
// 几何体与平面的位置关系
enum PlaneIntersects {
Intersects_Cross = 0, // 相交（贯穿）
Intersects_Tagent = 1, // 相切（接触但不相交）
Intersects_Front = 2, // 完全在平面正面
Intersects_Back = 3, // 完全在平面背面
};
已经实现相交测试的几何体包括：
- 包围盒
- 点
- 线
- 三角形
于是，有了这组相交测试接口intersects：
public:
// -----------------------------------------------
// 相交检测intersects, 平面与不同几何对象的相交测试
// 与包围盒的相交检测
PlaneIntersects intersects(const BoundingBox& box) const;
// 与点的相交检测
// check intersect with point (world space)
PlaneIntersects intersects(const glm::vec3& p0) const;
// 与线的相交检测
// check intersect with line(world space)
PlaneIntersects intersects(const glm::vec3& p0, const glm::vec3 &p1) const;
// 与三角形的相交检测
// check intersect with triangle(world space)
PlaneIntersects intersects(const glm::vec3& p0, const glm::vec3& p1, const glm::vec3& p2) const;
};
与包围盒的相交测试
“平面与包围盒相切” 的几何含义：
平面刚好接触到包围盒的一个面、棱或顶点，但没有穿过包围盒。
有两种方法判断包围盒是否与平面相交：
1）将包围盒所有顶点代入平面方程，如果结果中有正值，也有负值（或0），那么说明这些顶点分布在平面两侧（或平面上），因此可以判断发生相交；
2）将包围盒2个顶点代入平面方程即可（效率更高）.
下面对这种情形推导：
假设有一个轴对齐包围盒AABB，记为B，它由一个中心点\(\bm{c}\)和一个正的半对角向量\(\bm{h}\)定义. 设B的最小、最大角点分别为\(bmin、bmax\)，易知：
- \(c = (bmax + bmin) / 2\)
- \(h = (bmax - bmin) / 2\)
现在要将B与平面\(π: \bm{n}\cdot \bm{P}+d=0\)进行相交测试. 核心思想：计算出包围盒在平面法向量\(\bm{n}\)上的投影范围，记为\(\bm{e}\)，称为投影半径. 投影半径，代表包围盒在平面法向量方向上的最大“伸展距离”.
理论上，可将包围盒的8个不同的半对角线向量投影到法向量上，并取其中最长的；实际上，可以用一个非常高效的公式：
∵\(h_i=(bmax_i-bmin_i)/2\ge 0,i=x,y,z\)
∴\(\bm{e}=(ex,ey,ez),ex,ey,ez\ge 0\)
设包围盒中心到平面距离\(d_{center}\)，有如下判断：
- 如果$ |d_{center} < e| $，相交；
- 如果$ |d_{center} == e| $，相切；
- 如果$ |d_{center} > e| $，完全在一侧，未相交；
下面是一个二维AABB的例子：
如上图，二维轴对齐包围盒（AABB），中心\(\bm{c}\)，正版对角线\(\bm{h}\)，\(\bm{g_i},i=1,2,3\)表示包围盒所有可能的对角线方向. 正与一个平面\(\bm{π}\)做相交测试.
包围盒中心到平面的有符号距离\(\bm{s}\)，投影半径\(\bm{e}\).
而\(\bm{h}\)恰好等于\(\bm{g_1}\). 有符号距离\(\bm{s}\)为负数，且\(|\bm{s}|>|\bm{e}|\)，表明包围盒都在平面的背侧（\(\bm{s}+\bm{e}<0\)）
中心到平面的有符号距离：
- \(\bm{s} == \bm{e}\)，包围盒与平面相切；
- \(\bm{s}-\bm{e}>0\)，即\(\bm{s}>\bm{e}>0\)，包围盒在平面的正侧；
- \(\bm{s}+\bm{e}<0\)，$\bm{s}<0 \space and\space |\bm{s}|>|\bm{e}| $，包围盒在平面的背侧；
- 其他情形，相交.
于是，可写出如下伪码：
PlaneAABBIntersect(B, π)
returns({TAGENT, FRONT, BACK, CROSS});
c = (bmax + bmin)/2
h = (bmax − bmin)/2
e = hx|nx| + hy|ny| + hz|nz|
s = c · n + d
if (s == e) return (TAGENT);
if(s − e > 0) return (FRONT);
if(s + e < 0) return (BACK);
return (CROSS);
平面与包围盒相交测试：
Plane::PlaneIntersects Plane::intersects(const BoundingBox& box) const {
glm::vec3 center = (box.min + box.max) * 0.5f; // 包围盒中心
glm::vec3 extent = (box.max - box.min) * 0.5f; // 包围盒半长
float d = distance(center); // 中心到平面的有符号距离
float r = fabsf(extent.x * normal_.x)
+ fabsf(extent.y * normal_.y)
+ fabsf(extent.z * normal_.z); // 投影半径: 局部坐标下，包围盒最远的一个顶点，在法向量上的投影点，与包围盒中心的距离
if (d == r) {
return Plane::Intersects_Tagent; // 相切
}
else if (std::abs(d) < r) {
return Plane::Intersects_Cross; // 贯穿
}
return (d > 0.0f) ? Plane::Intersects_Front : Plane::Intersects_Back; // 正面/背面
}
与点的相交测试
前面已描述，点与平面的位置关系，取决于点P到平面的距离\(d_{P}=\bm{P}\cdot \bm{n}+d\)的符号
Plane::PlaneIntersects Plane::intersects(const glm::vec3& p0) const {
float d = distance(p0);
if (d == 0) {
return Plane::Intersects_Tagent;
}
return (d > 0.0f) ? Plane::Intersects_Front : Plane::Intersects_Back;
}
与线段的相交测试
线段与平面的相交关系，取决于端点与平面的相交关系.
- 如果2端点与平面的相交关系相同，则线段与平面的相交关系相同；
- 如果2端点与平面的相交关系不同：
- 1个端点与平面相切，线段与平面相切；
- 都不与平面相切，则线段与平面相交.
Plane::PlaneIntersects Plane::intersects(const glm::vec3& p0, const glm::vec3& p1) const {
Plane::PlaneIntersects state0 = intersects(p0);
Plane::PlaneIntersects state1 = intersects(p1);
if (state0 == state1) {
return state0;
}
if (state0 == Plane::Intersects_Tagent || state1 == Plane::Intersects_Tagent) {
return Plane::Intersects_Tagent;
}
return Plane::Intersects_Cross;
}
与三角形的相交测试
三角形\(p_0p_1p_2\)与平面的相交关系，取决于三条边与平面的相交关系：
- \(p_0p_1\)与\(p_0p_2\)相交关系相同，\(p_0p_1\)与\(p_1p_2\)相交关系相同，则三角形的相交关系也相同；
- \(p_0p_1, p_0p_2, p_1p_2\)与平面的相交关系不完全相同：
- 至少有一组相交光线为相交（Cross），则三角形与平面相交；
- 否则，三角形与平面相切；
Plane::PlaneIntersects Plane::intersects(const glm::vec3& p0, const glm::vec3& p1, const glm::vec3& p2) const {
Plane::PlaneIntersects state0 = intersects(p0, p1);
Plane::PlaneIntersects state1 = intersects(p0, p2);
Plane::PlaneIntersects state2 = intersects(p1, p2);
if (state0 == state1 && state0 == state2) {
return state0;
}
if (state0 == Plane::Intersects_Cross || state1 == Plane::Intersects_Cross || state2 == Plane::Intersects_Cross) {
return Plane::Intersects_Cross;
}
return Plane::Intersects_Tagent;
}
Frustum视锥体
简介
Frustum 表示相机视锥体，定义了相机/观察者的可见区域，由6个平面+8个角点+1个视锥体的包围盒组成.
- 6个平面顺序：
plane[0] : 近裁剪平面（near plane）;
plane[1] : 远裁剪平面（far plane）;
plane[2] : 顶部（top）;
plane[3] : 底部（bottom）;
plane[4] : 左侧（left）;
plane[5] : 右侧（right）;
- 8个角点，即视锥体的8个顶点：
// 索引顺序说明：
corners[0] : nearTopLeft
corners[1] : nearTopRight
corners[2] : nearBottomLeft
corners[3] : nearBottomRight
corners[4] : farTopLeft
corners[5] : farTopRight
corners[6] : farBottomLeft
corners[7] : farBottomRight
- 整个视锥体的包围盒
bbox：
BoundingBox bbox包裹整个视锥体的轴对齐包围盒（AABB），便于快速粗略裁剪（如用AABB快速剔除大部分不可见物体）.
透视投影椎体参见：计算机图形：三维观察之投影变换
Frsutum数据成员：
// 视锥体
struct Frustum {
public:
/**
* plane[0] : near;
* plane[1] : far;
* plane[2] : top;
* plane[3] : bottom;
* plane[4] : left;
* plane[5] : right;
*/
Plane planes[6];
/**
* corners[0] : nearTopLeft;
* corners[1] : nearTopRight;
* corners[2] : nearBottomLeft;
* corners[3] : nearBottomRight;
* corners[4] : farTopLeft;
* corners[5] : farTopRight;
* corners[6] : farBottomLeft;
* corners[7] : farBottomRight;
*/
glm::vec3 corners[8];
BoundingBox bbox;
};
核心函数：
- 一系列相交测试
intersects(..)，用于场景裁剪（Frustum Culling），判断哪些对象需要渲染、哪些可以被剔除. 相交测试几何体：- 与包围盒
- 与点
- 与线段
- 与三角形
视锥体的相交测试用于是否剔除几何体，因此只需要判断是否与视锥体相交即可，无需返回相交的类型.
public:
bool intersects(const BoundingBox& box) const;
// check intersect with point (world space)
bool intersects(const glm::vec3& p0) const;
// check intersect with line(world space)
bool intersects(const glm::vec3& p0, const glm::vec3& p1) const;
// check intersect with triangle(world space)
bool intersects(const glm::vec3& p0, const glm::vec3& p1, const glm::vec3& p2) const;
Frustum的构造
虽然Frustum并未提供自定义构造方法，所有数据成员都是public，用户可自由设置. 但是，planes[6]，corners[8]的赋值规则必须遵循约定：
planes[0..5]分别代表 近、远、上、下、左、右平面；corners[0。7.]分别代表 近上左平面的角点、近顶右平面的角点、近底左平面的角点、近底右平面的角点、远上左平面的角点、远顶右平面的角点、远底左平面的角点、远底右平面的角点.
tips: 具体对Frustum成员的设置，可参见Camera部分.
与包围盒相交测试
视锥体是由6个面构成的6面体，可先对6个面与包围盒的相交测试，然后再对视锥体的包围盒与包围盒进行相交测试.
- 6个面与包围盒的相交测试
视锥体每个面与包围盒的相交，是平面与包围盒的相交测试. 每个面的法向量指向6面体外部. 如果一个包围盒完全在其中一个面的背侧，说明包围盒在视锥体外部，即包围盒不与视锥体相交.
- 视锥体的包围盒与包围盒的相交测试
直接用前面的 包围盒与包围盒的测试方法即可
bool Frustum::intersects(const BoundingBox& box) const {
for (auto& plane : planes) {
if (plane.intersects(box) == Plane::Intersects_Back) {
return false;
}
}
// check box intersects
if (!bbox.intersects(box)) {
return false;
}
return true;
}
与点的相交测试
视锥体与点的相交测试：只要点在视锥体的6个面中任意一个面的背侧，说明点在视锥体外，不与视锥体相交；否则，点与视锥体相交.
bool Frustum::intersects(const glm::vec3& p0) const {
for (auto& plane : planes) {
if (plane.intersects(p0) == Plane::Intersects_Back) {
return false;
}
}
return true;
}
与线段的相交测试
视锥体与线段的相交测试：只要线段在视锥体的6个面中任意一个面的背侧，说明线段在视锥体外，不与视锥体相交；否则，线段与视锥体相交.
bool Frustum::intersects(const glm::vec3& p0, const glm::vec3& p1) const {
for (auto& plane : planes) {
if (plane.intersects(p0, p1) == Plane::Intersects_Back) {
return false;
}
}
return true;
}
与三角形的相交测试
与前面的 点、线段的相交测试类似，只需要看其中是否有一个面与三角形的相交测试中，三角形在视锥体外.
bool Frustum::intersects(const glm::vec3& p0, const glm::vec3& p1, const glm::vec3& p2) const {
for (auto& plane : planes) {
if (plane.intersects(p0, p1, p2) == Plane::Intersects_Back) {
return false;
}
}
return true;
}
位置关系
相交测试只能判断与视锥体是否相交，不能得到与视锥体的位置关系. 比如，在做裁剪时，需要判断几何体顶点与视锥体的位置关系，从而决定如何裁剪.
为此，定义下面的类型FrustumClipMask、便捷使用的数组FrustumClipMaskArray[6]：
// Geometry.h
enum FrustumClipMask {
POSITIVE_X = 1 << 0,
NEGATIVE_X = 1 << 1,
POSITIVE_Y = 1 << 2,
NEGATIVE_Y = 1 << 3,
POSITIVE_Z = 1 << 4,
NEGATIVE_Z = 1 << 5,
};
const int FrustumClipMaskArray[6] = {
FrustumClipMask::POSITIVE_X,
FrustumClipMask::NEGATIVE_X,
FrustumClipMask::POSITIVE_Y,
FrustumClipMask::NEGATIVE_Y,
FrustumClipMask::POSITIVE_Z,
FrustumClipMask::NEGATIVE_Z,
};
浙公网安备 33010602011771号