2020年9月6日

矩阵论练习29（H阵和正规阵）
摘要： 定义 H阵：设$A\in C^{n\times n}$，若有 \(A^H = A\)，则称矩阵 \(A\) 为Hermite矩阵，简称为H阵。 正规阵：设$A\in C^{n\times n}$，则称 \(A\) 是正规阵。 直接根据定义，容易证明H阵是的正规阵的子集。 定理 \(A\in C^{n 阅读全文
posted @ 2020-09-06 22:48 火力教育 阅读(1671) 评论(0) 推荐(0)
 
矩阵论联系28（盖尔圆）
摘要： 定义 设 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，称 \(A\) 的特征值的集合为 \(A\) 的谱，称 \(A\) 的特征值的模的最大值为 \(A\) 的谱半径，记为 \(\rho(A)\). 记 \(R_i = |a_{i1}|+\cdots + |a_{ii-1}|+|a_{ii 阅读全文
posted @ 2020-09-06 11:04 火力教育 阅读(2938) 评论(0) 推荐(0)
 
矩阵论练习27（Jordan标准型）
摘要： Jordan标准型矩阵的定义很简单，矩阵比较多，不好打，略过。 Jordan标准型与最小多项式有密切关系。 定理1 若矩阵$J$为矩阵$A$的若当标准型矩阵，$\lambda$是任意数字，则对一切正整数$n$，有 \(Rank(A-\lambda I)^k = Rank(J-\lambda I)^k 阅读全文
posted @ 2020-09-06 10:14 火力教育 阅读(4231) 评论(0) 推荐(0)
 

2020年6月6日

矩阵论练习26（最小多项式）
摘要： 定义 矩阵$A$的次数最低的、最高次数为$1$的化零多项式称为$A$的最小多项式。 定理 设 \(m(x)\),\(C(x)\) 分别是矩阵$A$的最小多项式和特征多项式，则 \(m(x)|C(x)\)，并且，对 \(\lambda_0\in C\)(这里$C$指复数域)，\(m(\lambda_0 阅读全文
posted @ 2020-06-06 13:29 火力教育 阅读(7489) 评论(0) 推荐(0)
 
矩阵论练习25（Hamilton-Cayley定理）
摘要： Hamilton-Cayley 定理 设 \(A\in F^{n\times n}\), \(C(\lambda)=|\lambda I-A|\)，则$C(A)=O$. 设 \(f\in Hom(V)\)，\(C(\lambda)\) 是 \(f\) 的特征多项式，则 \(C(f)=O\). 题目 阅读全文
posted @ 2020-06-06 13:11 火力教育 阅读(1358) 评论(0) 推荐(0)
 

2020年5月19日

矩阵论练习24（化零多项式）
摘要： 命题 设 $f(x)$ 是多项式。若 $f(A)=O$，则 $A$ 的特征值均是 $f(x)=0$ 的根。 证明 对 $A$ 的特征值 $\lambda_0$ 和特征向量 $\eta, \eta\ne \theta$，有 $$ A\eta = \lambda_0\eta $$ $$ A^2\eta 阅读全文
posted @ 2020-05-19 17:23 火力教育 阅读(1227) 评论(0) 推荐(0)
 
矩阵论练习23（特征多项式和矩阵的迹）
摘要： 定理 设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$，则 $$ |\lambda I A|= \lambda^n + b_1\lambda^{n 1} +\cdots+b_{n 1}\lambda + b_n $$ 其中， $b_j=( 1)^j\sum (A的j阶主子式)$. 特别地，$b_ 阅读全文
posted @ 2020-05-19 16:42 火力教育 阅读(1932) 评论(0) 推荐(1)
 
矩阵论练习22（特征值和特征向量）
摘要： 定义 假设 $f\in Hom(V,V)$，$\lambda_0\in F$，$\eta\in V,\eta\ne\theta$. 如果 $f(\eta)=\lambda_0\eta$，则称 $\lambda_0$ 是 $f$ 的特征值，$\eta$ 是 $f$ 的特征向量。 题目 $f\in Ho 阅读全文
posted @ 2020-05-19 16:06 火力教育 阅读(637) 评论(0) 推荐(0)
 

2020年5月17日

矩阵论练习21（等距变换）
摘要： 定义 设 $V$ 是内积空间，$f\in Hom(V,V)$. 若 $$ =,\forall \alpha,\beta\in V $$ 称 $f$ 是等距变换。 若 $F=R$，称 $f$ 是正交变换，因为此时 $f$ 的变换矩阵是一个正交矩阵； 若 $F=C$，称 $f$ 是酉变换，因为此时 $f 阅读全文
posted @ 2020-05-17 19:24 火力教育 阅读(804) 评论(0) 推荐(0)
 
矩阵论练习20（最小二乘法）
摘要： 本小节从内积空间的角度来看最小二乘法，内容来自b站周建华老师的 "工程矩阵论P11的40分钟处" . 问题 设 $A\in C^{s\times n}$，求线性方程组 $Ax=b$ 的最佳近似解。 解答 由于问题中的等式通常没有常数解（等式数大于未知数个数），则应求最佳近似解。设 $Ax=b'$，则 阅读全文
posted @ 2020-05-17 19:12 火力教育 阅读(1051) 评论(0) 推荐(0)
 
 
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