随笔分类 - 矩阵论
记录一些矩阵论过程中打习题,学习课程参考b站东南大学周建华教授矩阵论.https://www.bilibili.com/video/BV1Lx411G7iD?p=2
矩阵论练习33（矩阵p范数和算子范数）
摘要：矩阵p范数 设矩阵 \(A=(a_{ij})_{m\times n}\)，则有下列矩阵范数： \[ \lVert A\rVert_{m1}=\sum\limits_{i,j}|a_{ij} \] \[ \lVert A\rVert_{m2}=(\sum\limits_{i,j}|a_{ij}^2)^
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矩阵论练习32（范数及范数的相容性）
摘要：范数定义 设$V$是数域$F$上线性空间，$\nu$是定义在$V$上的实值函数。如果$\nu$满足： 对任意$\theta\ne\alpha\in V, \nu(\alpha)>0$ 对任意$\alpha\in V, k\in F, \nu(k\alpha)=|k|\nu(\alpha)$ 对任意$
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矩阵论练习31（Rayleigh商）
摘要：定义 设$A$是$n$阶$H$阵，则$\forall x\in Cn, xHAx\in R$. 于是，可以定义一复变量的实值函数 \[ R(x) = \frac{x^HAx}{x^Hx},\ \forall \theta\ne x\in C^n \] 称此函数为$A$的Rayleigh商。 定理 假
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矩阵论练习30（正定阵）
摘要：定理 设 $A$是 $n\times n$的Hermite阵，则下述条件等价： 1） \(A\) 是正定的； 2） \(A\) 的特征值均大于零； 3） \(A\) 与 \(I\) 共轭合同； 4） 存在可逆阵 \(P\) 使得 \(A= P^HP\)； 5） \(A\) 的各顺序主子式均大于零。
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矩阵论练习29（H阵和正规阵）
摘要：定义 H阵：设$A\in C^{n\times n}$，若有 \(A^H = A\)，则称矩阵 \(A\) 为Hermite矩阵，简称为H阵。 正规阵：设$A\in C^{n\times n}$，则称 \(A\) 是正规阵。 直接根据定义，容易证明H阵是的正规阵的子集。 定理 \(A\in C^{n
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矩阵论联系28（盖尔圆）
摘要：定义 设 \(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，称 \(A\) 的特征值的集合为 \(A\) 的谱，称 \(A\) 的特征值的模的最大值为 \(A\) 的谱半径，记为 \(\rho(A)\). 记 \(R_i = |a_{i1}|+\cdots + |a_{ii-1}|+|a_{ii
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矩阵论练习27（Jordan标准型）
摘要：Jordan标准型矩阵的定义很简单，矩阵比较多，不好打，略过。 Jordan标准型与最小多项式有密切关系。 定理1 若矩阵$J$为矩阵$A$的若当标准型矩阵，$\lambda$是任意数字，则对一切正整数$n$，有 \(Rank(A-\lambda I)^k = Rank(J-\lambda I)^k
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矩阵论练习26（最小多项式）
摘要：定义 矩阵$A$的次数最低的、最高次数为$1$的化零多项式称为$A$的最小多项式。 定理 设 \(m(x)\),\(C(x)\) 分别是矩阵$A$的最小多项式和特征多项式，则 \(m(x)|C(x)\)，并且，对 \(\lambda_0\in C\)(这里$C$指复数域)，\(m(\lambda_0
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矩阵论练习25（Hamilton-Cayley定理）
摘要：Hamilton-Cayley 定理 设 \(A\in F^{n\times n}\), \(C(\lambda)=|\lambda I-A|\)，则$C(A)=O$. 设 \(f\in Hom(V)\)，\(C(\lambda)\) 是 \(f\) 的特征多项式，则 \(C(f)=O\). 题目
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矩阵论练习24（化零多项式）
摘要：命题 设 $f(x)$ 是多项式。若 $f(A)=O$，则 $A$ 的特征值均是 $f(x)=0$ 的根。 证明 对 $A$ 的特征值 $\lambda_0$ 和特征向量 $\eta, \eta\ne \theta$，有 $$ A\eta = \lambda_0\eta $$ $$ A^2\eta
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矩阵论练习23（特征多项式和矩阵的迹）
摘要：定理 设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$，则 $$ |\lambda I A|= \lambda^n + b_1\lambda^{n 1} +\cdots+b_{n 1}\lambda + b_n $$ 其中， $b_j=( 1)^j\sum (A的j阶主子式)$. 特别地，$b_
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矩阵论练习22（特征值和特征向量）
摘要：定义 假设 $f\in Hom(V,V)$，$\lambda_0\in F$，$\eta\in V,\eta\ne\theta$. 如果 $f(\eta)=\lambda_0\eta$，则称 $\lambda_0$ 是 $f$ 的特征值，$\eta$ 是 $f$ 的特征向量。 题目 $f\in Ho
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矩阵论练习21（等距变换）
摘要：定义 设 $V$ 是内积空间，$f\in Hom(V,V)$. 若 $$ =,\forall \alpha,\beta\in V $$ 称 $f$ 是等距变换。 若 $F=R$，称 $f$ 是正交变换，因为此时 $f$ 的变换矩阵是一个正交矩阵； 若 $F=C$，称 $f$ 是酉变换，因为此时 $f
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矩阵论练习20（最小二乘法）
摘要：本小节从内积空间的角度来看最小二乘法，内容来自b站周建华老师的 "工程矩阵论P11的40分钟处" . 问题 设 $A\in C^{s\times n}$，求线性方程组 $Ax=b$ 的最佳近似解。 解答 由于问题中的等式通常没有常数解（等式数大于未知数个数），则应求最佳近似解。设 $Ax=b'$，则
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矩阵论练习19（正投影）
摘要：定理 先看一个简单例子：有一个二维平面，并已知一个三维空间中的点 $\alpha$，要在二维平面上找一个点 $\eta$，使得点 $\alpha$ 到 $\eta$ 的距离最小。根据经验，找到的这两个点的连线和二维平面垂直时，这个距离才最小。 下面推广一下，点可以用向量表示（两个点之间的连线可以用对
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矩阵论练习18（值域和核空间的正交补空间）
摘要：问题 假设 $A\in C^{s\times n}$. 定义线性映射 $f: R^n\rightarrow R^s$ 为 $$ f(x) = Ax,\forall x\in R^n $$ 分别记 $f$ 的值域及核空间为 $R(A), K(A)$. 证明 $R(A)^\perp=K(A^H)$, $
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矩阵论练习17（标准正交基与酉矩阵）
摘要：定理 设 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 是 $V$ 的标准正交基，若 $$ [\gamma_1,\cdots,\gamma_n]=[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]U $$ 则，$\gamma_1,\cdots,\gamma_n$ 是标准正交基 $\Left
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矩阵论练习16（内积与标准正交基）
摘要：题目 在 $V=R_3[x]$ 中定义内积：$=\int_{ 1}^1 f(x)g(x)dx$，求 $V$ 的一组标准正交基。 解答 思路：先找出一组基，再 Schmidt 正交化，然后再标准化即可。 1. 在 $R_3[x]$ 中选定基 $[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]=
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矩阵论练习15（度量矩阵与Schmidt正交化）
摘要：度量矩阵 设 $e_1,\cdots,e_n$ 是 $V$ 的基，$\alpha,\beta\in V$的坐标是 $$ X=[x_1,\cdots,x_n]^T,Y=[y_1,\cdots,y_n]^T $$ 则 $$ =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_i\overline{y
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矩阵论练习14（不变子空间）
摘要：定义 设 $f\in Hom(V,V)$,$W\le V$。若 $\forall \eta\in W$，有 $f(\eta)\in W$，则称 $W$ 是 $f$ 的不变子空间。 例如：设 $f\in Hom(V,V)$,$W\le V$，则 $R(f),K(f)$ 均是 $f$ 的不变子空间。 题
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