随笔分类 - 矩阵论
记录一些矩阵论过程中打习题,学习课程参考b站东南大学周建华教授矩阵论.https://www.bilibili.com/video/BV1Lx411G7iD?p=2
矩阵论练习13（值域和核子空间的基和维数2）
摘要：定理 假设 $f\in Hom(V,U)$, $f$ 的值域 $f(V)$ 及核子空间 $f^{ 1}(\theta)$ 常被记为 $R(f)$ 和 $K(f)$，若 $f$ 在基偶 $V:\alpha_1,\cdots,\alpha_s;$$U:\beta_1,\cdots,\beta_n$ 下的
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矩阵论练习12（线性映射的坐标变换证明）
摘要：定理一 若 $f\in Hom(V,U)$ 在基偶 $V:a_1,\cdots,a_s$; $U:b_1,\cdots,b_n$ 下的矩阵是 $A$,$\eta\in V$ 在 $a_1,\cdots,a_s$ 的坐标是 $X$，则 $f(\eta)$ 在基 $b_1,\cdots,b_n$ 下的坐
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矩阵论练习11（线性映射的矩阵）
摘要：定义 设 $f\in Hom(V,U)$。选定基偶： $$ V:\alpha_1,\cdots,\alpha_s \\ U:\beta_1,\cdots,\beta_n $$ 若 $(f(\alpha_1),\cdots,f(\alpha_s))=(\beta_1,\cdots,\beta_n)A$
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矩阵论练习10（线性映射和核子空间的值域、基和维数）
摘要：线性映射的性质 假设 $f:V\rightarrow U$ 是线性映射，则： 1. $f(\theta)=\theta$, $\theta$ 代表 $0$ 2. 若 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\in V, k_1,k_2,\cdots, k_s\in F$，
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矩阵论练习9（子空间）
摘要：题目 设 $A = \left [\begin{matrix} 1&0\\ 2&1 \end{matrix}\right ]$，证明：$W = \{X\in F^{2\times 2}| AX = XA\}$ 是 $F^{2\times 2}$ 的子空间，并求 $W$ 的一组基。 解答 要证明 $W
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矩阵论练习8（坐标变换）
摘要：题目 在 $F_3[x]$ 中，求 $f(x)=1+x+x^2$ 在基 $B = [2+x, x+x^2, 2x+3x^2]$ 下的坐标 $y$。 解答 $f(x)$ 在基 $E = [1,x,x^2]$ 下的坐标为 $x = [1,1,1]^T$ 基 $E$ 到基 $B$ 的过渡矩阵为 $A$，则
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矩阵论练习7（基与坐标）
摘要：定理 假设 $\eta,\eta_i\in V$ 在基 $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$ 下的坐标分别是 $X$ 即 $X_i$，$i=1,2,...,s$. 则 1. $\eta=\theta \Leftrightarrow X=\theta$ 2. $\eta=k
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矩阵论练习6（线性空间的维数和基）
摘要：题目 求下列线性空间的维数，并写出其中一个基 1. $V=C, F=R$ 2. $V=C, F=C$ 3. $V=R^+, F=R$ 3中的加法和数乘定义为 $a,b\in V, k\in F,a\oplus b=ab, k\circ a=a^k$ 解答 1. $V$ 维数为2，$V$ 中任意一个元
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矩阵论练习5（线性空间）
摘要：题目 定义空间 $V = R^+$，域 $F=R$ 定义新的运算： $$ \oplus: \alpha,\beta \in V, \alpha\oplus \beta = \alpha\beta \\ \circ: \alpha \in V, k\in F, k\circ \alpha = \alp
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矩阵论练习4（满秩分解）
摘要：题目 假设 $s\times n$矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ， 证明存在 $s\times r $ 矩阵 $B$ 及 $r\times n$ 矩阵 $C$ ，使得 $A=BC$ 。 证明 可以证明矩阵 $B$,$C$ 的秩均为 $r$，其实 $r=R(A)=R(BC)\le R(B),R(C)
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矩阵论练习3（有关矩阵的秩的不等式）
摘要：矩阵的秩的不等式 $$ R(A+B) \le R(A)+R(B) $$ $$ R(AB) \le min(R(A), R(B)) $$ $$ A_{z\times n} B_{n\times t} = O \rightarrow R(A)+R(B) \le n $$ $$ R(A_{z\times
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矩阵论练习2（共轭转置的秩和解空间）
摘要：题目 设 $A$ 是 $s\times n$ 矩阵，$b$ 是 $s$ 维列向量。证明： 1. $Rank(A) = Rank(A^HA)$ 2. 线性方程组 $A^HAx = A^Hb$ 恒有解 其中 $A^H$ 为 $A$ 的共轭转置矩阵 证明 1. 证明 $Ax= 0$ 和 $A^HA x=0
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矩阵论练习1（矩阵k次幂）
摘要：题目 计算下面 $n\times n$ 矩阵打$k$次幂( $k<n$ ): $$ A = \left \{ \begin{matrix} a & 1 & & \cdots & 0\\ & a & 1& \cdots & 0\\ & & \ddots&\ddots &\vdots \\ & & &\
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