随机化算法

Kazaee

有一个长度为n的数组，区间询问所有数的出现次数是不是k的倍数

考虑将a进行随即映射操作，如果【l,r】的和不是S的倍数那么答案一定是NO，否则可能是YES

多进行几次映射

Code:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 300005
#define lb(x) ((x)&-(x))

int n,q;
int a[N],b[N];
int op[N],l[N],r[N],k[N];
int num[N<<1],tot;
int R[N<<1];
int ans[N];
int bit[N];

mt19937 rd(time(0));

inline void upd(int p,int v){
	while(p<=n){
		bit[p]+=v;
		p+=lb(p);
	}
}

inline int qry(int p){
	int s=0;
	while(p){
		s+=bit[p];
		p-=lb(p);
	}
	return s;
}

inline int qry(int L,int R){
	return qry(R)-qry(L-1);
}

signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	cin>>n>>q;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>a[i];
		num[++tot]=a[i];
	}
	for(int i=1;i<=q;++i){
		cin>>op[i]>>l[i]>>r[i];
		ans[i]=1;
		if(op[i]==2)cin>>k[i];
		else num[++tot]=r[i];
	}
	sort(num+1,num+tot+1);
	tot=unique(num+1,num+tot+1)-num-1;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		a[i]=lower_bound(num+1,num+tot+1,a[i])-num;
	}
	for(int i=1;i<=q;++i){
		if(op[i]==1){
			r[i]=lower_bound(num+1,num+tot+1,r[i])-num;
		}
	}
	for(int t=1;t<=30;++t){
		for(int i=1;i<=n;++i)bit[i]=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)b[i]=a[i];
		for(int i=1;i<=tot;++i)R[i]=rd()>>1;
		for(int i=1;i<=n;++i){
			upd(i,R[b[i]]);
		}
		for(int i=1;i<=q;++i){
			if(op[i]==1){
				upd(l[i],R[r[i]]-R[b[l[i]]]);
				b[l[i]]=r[i];
			}else{
				if(ans[i]){
					if((r[i]-l[i]+1)%k[i]){
						ans[i]=0;
						continue;
					}
					if(qry(l[i],r[i])%k[i]){
						ans[i]=0;
						continue;
					}
				}
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=q;++i){
		if(op[i]==2){
			if(ans[i])cout<<"YES\n";
			else cout<<"NO\n";
		}
	}
	return 0;
}

P10102

多测，问\(A\times B\)是否等于C，均为大小为\(n\times n\)的矩阵

随机一个 n×1 的向量 \(x\)，检验 \(A×B×x\) 和 \(C×x\) 是否相等即可

P1224d

\[(A,B)=\sum_{i=1}^d a_ib_i \]

问n个d维度向量是否存在(x,y)为k的倍数

考虑k=2怎么做，将向量排列为\(n\times d\)的矩阵

考虑如果将\(A\)和\(A^T\)相乘得到\(B\)，如果\(B_{i,j}=0\)，答案即为\(i,j\)

随机构造一个 n 行列向量 R。如果 B 是一个全 1 矩阵，那么 B×R 得到的列向量的每个元素都应该是 R 中的所有元素和，且如果第 i 行不满足，那么肯定存在一组 i,j 是答案

\(B\times R=(A\times(A^T\times R))\)

考虑k=3怎么做，发现mod 3意义下1和2的平方都是1

考虑 check 矩阵 B 的每个值平方后是否是全 1 矩阵

随机生成数组r，考虑\(\sum_j B_{i,j}^2 r_j\)是否等于\(\sum_j r_j\)

\[\sum_j B_{i,j}^2 r_j=\sum_j B_{i,j}R_{j,j}B_{j,i}^T \]

其中 R 是一个只有对角线有值的矩阵，有\(R_{j,j}=r_j\)

\(B\times R\times B^T=A\times (A^T\times (R\times A))\times A^T\)

能够bitset优化

E[JSOI2016]炸弹攻击

平面上有若干个圆，还有若干个点，选择一个圆（不是图中的），不和图中的圆相交，问最多包括多少点

对于一个点 (x,y)，先计算出在不碰到建筑物的限制下能取的最大半径，然后通过这个半径容易算出可以杀死多少个敌人

考虑对于(x,y)进行模拟退火

考虑设一个返回值为实数的平滑的函数，能对「即使当前点杀死敌人数量是 0，那么它离 1 有多近」有良好的参考

考虑「当前点对应的最大半径还需再增加多少能碰到第一个敌人」，将这个量看作\(r_0\)，作为一个参考量

要么r_0=0

CF1641D

n个数组a，还有一个数组

问所有数对中\(w_{i,j}\)的最小值，要求两列的数两两不同

FMT就先不做了

对于 O(n×m) 种权值，每种权值开一个 n 位的 bitset，表示权值 c 是否出现在第 i 个数组中

将n个数组以\(w_i\)为关键字排序

枚举数组对 (i,j) 中的 j，找一个最小的 i 与之匹配

将数组 j 内的元素的 bitset 或起来并反转每个位

找最低位的 1 的位置

P7606

等边三角形组成的网格图，最初在源点，每次操作会在网格图是行移动一定的距离，对应图中的6个移动方式，并且会让L和G的值加上一些

网格图最终n次操作后需要回到原点

问能否让位置到达某处

变成沿 x 轴，沿 y 轴，沿 y=x 的三条线

考虑\(dp_{i,j,k,l,g}\)前 i 个数，当前横坐标在 j，当前纵坐标在 k，当前 L 是 l，当前 G 是 g 是否可行

考虑只用bitset优化，无法通过

考虑非常经典的随机游走问题，它告诉我们在二维平面上每次随机选一个方向走 1 的单位长度，走 n 步期望的距离不会超过 根号n级别：

这道题我们选择的方案也可以当成是随机在 6 种当中选 1 种出来

P5406

定义一种新运算是按位随意选择与/或/非（题面给定）

一张 n 个点 m 条边的无向图，每一条边的权值是一个 w 位二进制数，找一棵原图的生成树

最大化

不是一道最优化题，这是一道计数题，如果对每个 i，我们求出权值为 i 的生成树的数量，那么答案就是最大的生成树数量不为 0 的 i

首先矩阵树定理

注意到这个 ∏，它不一定非得是数相乘，只要保证 <W,+,×> 构成一个环，那么这个式子就成立。其中 W 是边权所在的全集

构造函数

FWT后IFWT