[分析力学]解题思路 - 拉格朗日方程

更新：9 JAN 2017

（第二类）拉格朗日方程

动能拉格朗日方程

理想、完整约束下，系统的动力学普遍方程：

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot q_k}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_k} = Q_k \]

\(k\)走遍所有的广义坐标，\(T\)为动能，\(q_k\)为广义坐标，\(Q_k\)为广义力。

理想大致指接触、连接绝对光滑或绝对粗糙，完整指约束不显含时间。更详细的说明参看[分析力学]解题思路 - 虚功原理与达朗贝尔方程。

拉格朗日方程为标量方程，且只包含坐标对时间的一阶导数。

注：第一类拉格朗日方程即未使用广义坐标的拉格朗日方程，使用起来很不方便。

解题思路

1.封闭体系（无外力）

\(Q_k = 0\)，首先确定体系自由度，找广义坐标/独立坐标，求动能\(T(q,\dot q, t)\)表达式、拉格朗日方程中对动能的两个偏导数。得到与自由度数目相同的微分方程。

2.理想非完整线性约束

将约束解除，用拉格朗日乘子加入广义力一方参与方程。

动势拉格朗日方程

定义拉格朗日量

\[L=T-V \]

理想、完整约束下，系统的动力学普遍方程：

\[\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q_k}\right) - \frac{\partial L}{\partial q_k} = Q_k \]

\(k\)走遍所有的广义坐标，\(q_k\)为广义坐标，\(Q_k\)为非保守广义力。

解题思路

1.保守体系（有势能）

即存在保守力\(\vec F=-\nabla V\)作为外力。仍然先确定自由度和广义坐标，求出动能、势能的表达式得到拉格朗日量，求微分得到微分方程组。

势能的定义隐含物体的超距作用，与狭义相对论矛盾，因此需要非相对论条件。狭义相对论条件下（运动接近光速）应使用场论。

非保守广义力\(Q_k = 0\)。

2.位力定理

\[\overline{\sum_i\nabla_i V\cdot\vec r_i}=2\overline{T} \]

特别地, 若系统的势能是位⽮坐标的齐\(k\)次式, 则有

\[k\overline{V}=2\overline{T} \]

这里平均值是对时间的平均。若动能、势能不随时间变化，则每个时刻成立。

重点问题

1.单摆问题的精确解

旋轮摆严格等时性