[分析力学]解题思路 - 虚功原理与达朗贝尔方程

更新：8 JAN 2017

虚功原理

虚功定义

\[\delta W = \dot{\vec{p}}\cdot \delta\vec r \]

这个定义描述系统中某个质点/质心。

其他常用形态：

由牛顿第二定律 \(\vec F=\dot{\vec p}\) 引入通常力的概念得

\[\delta W = \vec F\cdot \delta\vec r \]

虚功原理

理想约束下的⼒学系统处于平衡状态的必要条件为：作⽤在系统上的主动⼒在任何约束条件所允许的虚位移下的虚功之和为零。若约束为完整并且定常, 则该条件也是充分的。

【理想约束】

常见的理想约束：

1. 质点沿光滑曲面运动

2. 两个质点由刚性轻杆所连接

3. 两个刚体以光滑表面接触

更一般判据：只要物体间连接是刚性的，所有接触面是理想光滑或绝对粗糙。

【完整约束】

描述单个约束条件只和体系各质点的坐标\(r_i\)及时间\(t\)有关。约束方程可写成

\[f(r_1,r_2,⋯,r_n,t)=0 \]

强调与速度或广义速度无关。

每一个完整约束都可以代数消去一个不独立坐标。

【定常约束】

约束方程中不显含时间。

【主动力】

非系统中物体的相互作用力，也可以说是外力。例如重力、外界施与的拉力等。

解题思路

1.利用虚功原理求解静力学平衡位置

对静力学系统，先确定自由度，找独立坐标，确定主动力；再求主动力虚功、虚位移，令虚功为零，而独立坐标的虚位移任意变化，则其系数分别为零，得到静力平衡方程；解得平衡坐标。

【例】质量分别为\(m_1\)和\(m_2\)的两个质点由长度为\(l\)的刚性轻杆联结, 将它们放到表⾯光滑的半圆形容器内（如图）, 容器的半径也为 \(r\) \((l<2r)\). 试求它们在重⼒作⽤下的平衡位置。

2.利用虚功原理求解静力学系统中的约束反力

方法一：将该约束反力视为主动力处理，该约束反力对应的位移视为独立坐标；由上面的方法求出含有主动力和约束反力对应独立坐标的静力平衡方程；代入上面求出的平衡坐标可以求出约束反力。

方法二：直接写出虚功原理，将约束方程变分后以拉格朗日乘因子法加入其中，增加一个未知量求解。

【例】求上面碗对杆底部的支持力\(\vec N\)。

重点问题

悬链问题：由离散到连续

思路：对于每个微元，都受到微小重力为主动力，因此主动力的方程就是对微元受的微重力（\(\rho g\)）求积分（若有外力，再加上外力）；然后考虑约束——总长恒定的绳，则列积分式带上拉格朗日乘子加入方程，对其他约束也如此。

达朗贝尔方程

达朗贝尔方程

理想约束下, 所有时刻真实运动的主动⼒和惯性⼒在系统任何虚位移下所做的元功之和为零：

\[\sum_i(F_i − m_i\ddot r_i)\cdot\delta r_i = 0 \]

显然在静力学系统下方程退化为虚功原理。

解题的关键在于找正确的约束方程，解法基本和虚功原理类似。