第二类斯特林数

定义

第二类斯特林数\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}\)表示将 \(n\) 个两两不同的元素划分为 \(k\) 个互不区分的非空子集的方案数。

递推式

\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+k*\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix} \]

类似于组合数的递推式，我们考虑加入一个新元素后子集个数达到 \(k\) 的时候，它的方案数就等于这个元素自己分到一个新子集的方案数，即 \(\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}\) ，加上把它分到之前已有的集合中的方案数，即 \(k*\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}\) 。

通项公式

\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^{k}\cfrac{(-1)^{k-i}i^n}{i!(k-i)!} \]

证明：设 \(G_j\) 表示将 \(n\) 个两两不同的元素划分为 \(j\) 个相互区分的子集（可以为空）的方案数，\(F_j\) 表示将 \(n\) 个两两不同的元素划分为 \(k\) 个相互区分的非空子集的方案数，所以有：

\[G_j=i^j \]

\[G_j=\sum_{i=0}^{j}{j\choose i}F_i \]

根据二项式反演可得：

\[F_j=\sum_{i=0}^{j}(-1)^{j-i}{j\choose i}G_i \]

\[=\sum_{i=0}^{j}(-1)^{j-i}{j\choose i}i^n \]

\[=\sum_{i=0}^{j}\cfrac{j!(-1)^{j-i}i^n}{i!(j-i)!} \]

考虑 \(F_j\) 因为和斯特林数的区别只有 \(F_j\) 区分子集，所以 \(F_j\) 正好为斯特林数的 \(j!\)倍，即

\[\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\cfrac{F_k}{k!}=\sum_{i=0}^{k}\cfrac{(-1)^{k-i}i^n}{i!(k-i)!} \]