二项式定理与二项式反演

当别人都认为严谨的证明无用时，如果你认真去学了，无论有没有收获，至少你对自己会这个知识能感到问心无愧

二项式定理

\[(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}{{n\choose i}x^{n-i}y^{i}}=\sum_{i=0}^{n}{{n\choose i}x^{i}y^{n-i}} \]

证明：数学归纳法：

下界：当 \(n=1\) 时，\((x+y)^1=\sum_{i=0}^{1}{{1\choose i}x^{1-i}y^{i}}={1\choose 0}x^{1}y^{0}+{1\choose 1}x^{0}y^{1}=x+y\) ，此时定理显然成立

那么当 \(n\) 成立时，对于 \(n+1\) 有：

\[(x+y)^{n+1} \]

拆出一个\((x+y)\)

\[=x(x+y)^n+y(x+y)^n \]

按定理代入

\[=x\sum_{i=0}^{n}{{n\choose i}x^{n-i}y^{i}}+y\sum_{j=0}^{n}{{n\choose j}x^{n-j}y^{j}} \]

把 \(x\) 和 \(y\) 乘进去

\[=\sum_{i=0}^{n}{{n\choose i}x^{n-i+1}y^{i}}+\sum_{j=0}^{n}{{n\choose j}x^{n-j}y^{j+1}} \]

取出首和尾

\[=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}{{n\choose i}x^{n-i+1}y^{i}}+\sum_{j=0}^{n-1}{{n\choose j}x^{n-j}y^{j+1}}+y^{n+1} \]

把 \(j\) 换成 \(i-1\)

\[=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}{{n\choose i}x^{n-i+1}y^{i}}+\sum_{i=1}^{n}{{n\choose i-1}x^{n-i+1}y^{i}}+y^{n+1} \]

合并两个sum

\[=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}{\bigg({{n\choose i}+{n\choose i-1}\bigg)}x^{n-i+1}y^{i}}+y^{n+1} \]

根据组合数的性质合并两个组合数的和^[1]

\[=x^{n+1}+\sum_{i=1}^{n}{{n+1\choose i}x^{n-i+1}y^{i}}+y^{n+1} \]

因为 \(1={n+1\choose 0}\) 且 \(1={n+1\choose n+1}\) ，所以可以把 \(x^{n+1}\) 和 \(y^{n+1}\) 合并入sum

\[=\sum_{i=0}^{n+1}{{n+1\choose i}x^{(n+1)-i}y^{i}} \]

显然仍符合二项式定理

证毕

其实还有更简单的感性理解一下：

考虑组合数定义，每种二项式得到的次数可以看作你在 \(n\) 个数对中选出其中一项的指数个的不同的方案数，也就是\({n\choose 指数}\)，加起来就成了整个式子。

二项式反演

\[g(n) =\sum_{i=1}^n{n\choose i}f(i) \Longleftrightarrow f(n)=\sum_{i=1}^n (-1)^{n-i}{n \choose i}g(i) \]

先把左边代入右边消掉

\[f(n)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{n-i}{n\choose i}*\sum_{j=1}^{i}{i\choose j}f(j) \]

换一下式子的顺序

\[f(n)=\sum_{j=1}^{n}f(j)*\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}{n\choose i}{i\choose j} \]

拆开组合数并化简

\[\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}\cfrac{n!}{i!(n-i)!}\cfrac{i!}{j!(i-j)!} \]

\[=\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}\cfrac{n!}{j!(n-i)!(i-j)!} \]

\[=\cfrac{n!}{j!}\sum_{i=j}^{n}\cfrac{(-1)^{n-i}}{(n-i)!(i-j)!} \]

内乘外除\((n-j)!\)

\[=\cfrac{n!}{j!(n-j)!}\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}\cfrac{(n-j)!}{(n-i)!(i-j)!} \]

把分数转回组合数

\[={n\choose j}\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}{n-j\choose n-i} \]

因为

\[f(n)=\sum_{j=1}^{n}[j==n]*f(j) \]

所以就相当于证明：

\[{n\choose j}\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}{n-j\choose n-i}=\begin{cases} 0\quad(j<n)\\ 1\quad(j=n) \\ \end{cases}\]

证明：

• \(j=n\) 时：
  原式等于：

\[{n\choose n}(-1)^0{0\choose 0}=1 \]

• \(j\not = n\) 时：
  有\(\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}{n-j\choose n-i}=0\)
  证明：
  当 \(n-j\) 为奇数时，
  取值正好有 \(n-j+1\) 个，且正好两两相反可以抵消，也就是 \({n-j\choose n-i}\) 和 \({n-j\choose n-j-(n-i)}\)，他们值相等，但系数相反；
  当 \(n-j\) 为偶数时，
  根据二项式定理：

\[\sum_{i=0}^n C(n,i) (-1)^{n-i} \]

\[= \sum_{i=0}^n C(n,i) (-1)^{n-i}1^i \]

\[=(1-1)^n \]

\[=0^n \]

\[=0 \]

反演得证

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1. \({n\choose m}={n-1\choose m}+{n-1\choose m-1}\)，\(n\)个数里选\(k\)个数的方案数即：选当前这个数和不选这个数的方案数的和 ↩︎