Runs 学习笔记

定义一个字符串 \(|S|\) 里的一个 run，指其内部一段两侧都不能扩展的周期子串，且周期至少完整出现两次。

严格地说，一个 run 是一个 三元组 \((i,j,p)\)，满足 \(p\) 是 \(S[i..j]\) 的最小周期，\(j-i+1 \ge 2p\)，且满足如下两个条件：

• 要么 \(i=1\)，要么 \(S[i-1]\ne S[i-1+p]\)；
• 要么 \(j=n\)，要么 \(S[j+1] \ne S[j+1-p]\)。

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性质一：\(|\{(l,r,p)\}|\) 为 \(\mathcal{O}(n)\) 级别的。

性质二：\(\sum\frac{r-l+1}{p}\) 也是 \(\mathcal{O}(n)\) 级别的。

性质三：\(\sum r-l+1-2p\) 是 \(\mathcal{O}(n\log n)\) 级别的。

性质四：Runs on sam （我取的神秘名字）

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怎么求出所有的 runs？

考虑进行 优秀的拆分 的套路，先求出所有的“伪 Runs”（两边不能再拓展，但是周期不一定是最小）。

注意到这些“伪 Runs”只是 \(p\) 不对，于是对于所有 \((l, r)\) 保留最大的唯一的 \(p\)。

第一步求的伪 Runs 是 \(\mathcal{O}(n)\) 的，第二步进行基数排序可以减小常数。

感觉实际上直接用个 map<pair<int, int>> 去重就，差不多得了。

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例题一：区间 \(A^2\) 串计数（不要求本质不同）

分两种，若 Runs \(l, r\) 被区间 \(L, R\) 完全包含，则可以用扫描线计算贡献。否则，相当于和区间相交于 \(L-1\) 或 \(R+1\)，这种 Runs 共有 \(\mathcal{O}(\log n)\) 个，直接拿出来求贡献即可。

例题二：区间本质不同 \(A^k(k\ge 2)\) 串计数

Runs on sam

例题三：区间本质不同 \(A^2\) 串计数

求出所有 Runs。

对于一个询问 \(l, r\)，将有贡献的 Runs 分成两种：

• \(R\le r\)
• \(R>r\)

对于第一种，我们扫描线维护，由于我们扫的时候能确定这个 Runs 内所有的本质不同 \(A^2\) 串的出现位置，所以我们直接用树状数组维护即可。

第二种只有 \(\mathcal{O}(\log n)\) 个。

所以我们扫描线，扫到 \(r\) 的时候找出所有包含 \(r\) 的 Runs 中的最长 \(A^2\) 串，消去它之前的贡献，然后把所有以 \(r\) 结尾的 Runs 的贡献加到 BIT 里。

核心思想是一口去处理单个 runs 内的所有的 \(A^2\) 串。（需要维护一个 \(A^2\) 串最后出现在哪个 Runs 里，而不是具体位置）。

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部分做法需要一个称之为 「斜线加，矩形求和」的东西。

即：在一开始给出若干条射线，从 \((x, y)\) 开始向右上，斜率为 \(1\)。

最后有若干次矩形查询。

考虑将矩形查询分成跨过一条平行 \(x\) 轴的线和平行 \(y\) 轴的线。

不妨以跨过平行于 \(y\) 轴的线为例。

\((x, y)\) 过 \((X,0) - (X,Y)\) 的条件为

• \(x\le X\)
• \(y+X-x\le Y\)，变形后得 \(y-x\le Y-X\)。

贡献是 \(X-x\)。则我们可以用一个线段树维护这个过程。

过平行于 \(x\) 轴的线类似。（以上皆为口胡，因为笔者并没有真正写过这个做法）。

斜线加矩形求和将成为时代的眼泪。—— 我。