Splay学习笔记

Splay

伸展树，是平衡树的一种。对比Treap或者STL中的set，它可以实现更多功能，一般为区间操作。

基本实现

Splay核心函数有2个：Splay(int x, int k)和rotate(int x)，分别表示将节点x旋转至k点下方，以及将x向上旋转一层。
rotate函数实现较为简单，可以类比Treap中的zig和zag。看代码即可理解。

struct SplayTree {
    int s[2], p, val, size; //左右子节点，父节点，权值，子树大小
    void init(int _v, int _p) { //初始化
        val = _v; p = _p; size = 1;
    }
} a[N];

void rotate(int x) {
    int y = a[x].p, z = a[y].p, k = a[y].s[1] == x; //子节点性质
    a[z].s[a[z].s[1] == y] = x; a[x].p = z;
    a[y].s[k] = a[x].s[k ^ 1]; a[a[x].s[k ^ 1]].p = y;
    a[x].s[k ^ 1] = y; a[y].p = x;
}

Splay函数通过不断将x向上旋转2层（最后为1层）实现。设x的父节点为y，y的父节点为z。当y对于z、x对于y的子节点性质（左/右）相同时（可以在形式上看做一条直线），先将y上旋，再将x上旋。不同时（折线），将x上旋2次。纸上推演即得。

void Splay(int x, int k) {
    while (a[x].p != k) {
        int y = a[x].p, z = a[y].p;
        if (z != k)
            if (a[z].s[1] == y ^ a[y].s[1] == x) rotate(x);
            else rotate(y);
        rotate(x);
    }
    if (!k) root = x;
}

插入、删除、查询操作与Treap类似。但在插入和删除之后，需要将节点向上旋转至根，即Splay(x,0)。如此可以保证之后每次操作的均摊复杂度为\(O(\log{N})\)。证明请看这里。

区间操作

Splay最引人注目的地方在于它支持区间操作，这使得它在一众平衡树中脱颖而出。否则平衡树的操作都可以用set实现，我们还学它干嘛……
若想要在原序列中加入一段连续的数，且保证它们在新的有序序列中也相邻，那么使用Splay可以\(O(\log{N}+M)\)实现（其中\(M\)为插入序列的长度）。设新的有序序列为\(a_1,a_2,...,a_n\)，插入的序列为\(a_l,a_{l+1},...,a_r\)，那么可以保证在原序列中\(a_{l-1}\)与\(a_{r+1}\)相邻。设它们在树中的编号分别为\(x,y\)。那么我们Splay(x,0)并Splay(y,x)，此时y的左子树一定为空。只需先将要插入的序列构造成一棵二叉搜索树，将根节点作为y的左儿子，即可实现。代码量极短。区间删除类似。
除此之外，其与线段树相似，可以实现懒惰标记。这意味着我们可以对其进行更多样的区间操作，例如同时加上/减去一个数。另外线段树难以实现的区间翻转操作，利用Splay特殊的性质，也可以轻松实现。

应用

首先是一般的平衡树操作，不多说。
来看一道区间操作：郁闷的出纳员
同时加减一个数可以用懒惰标记实现。特别地，此题中薪水的变动针对全体员工，那么可以进一步简化，用一个Δ值表示实际薪水与记录的薪水的差距。每次操作修改Δ值，在减薪时删除记录值小于min-Δ的节点。可以发现删除的节点一定是一段连续的区间。可以用Splay实现。
再来一道：Splay
这题很有意思，要求翻转，自然想到Splay（题目也给足了暗示）。但是，若我们用Splay维护数值有序，那么翻转的区间在树的中序遍历中不构成一段区间。那就无法用Splay实现。
正解使用了一种很奇妙的思路：在Splay中维护下标有序。换句话说，数的中序遍历刚好对应实时的序列。于是得以解决。注意，因为此时Splay中维护的东西为下标而非数值，所以此时无法再在这棵树上执行“查询第k大的数”这样的操作，只能执行“查询序列中的第k项元素”。不要产生混淆。
懒惰标记的实现：

void pushdown(int x) {
    if (!a[x].lazy) return ;
    swap(a[x].s[0], a[x].s[1]);
    a[a[x].s[0]].lazy ^= 1; a[a[x].s[1]].lazy ^= 1;
    a[x].lazy = 0;
}

这种维护下标有序的方法在Splay的题目中很常见，可以将其作为一种常用的思考方向。