splay复杂度的证明
我们利用势能分析来对splay旋转的复杂度进行简单证明,具体操作暂时不证明
设旋转的复杂度为\(k\),定义
\(size(x):\)以x为根的子树大小
\(\phi(x)=klog_2(size(x))\)
\(\Phi(T)=\sum_{\phi(x)}\)
\(\Phi\)为势函数
对于不平衡的树，\(\Phi\)会大，平衡的树\(\Phi\)会小
我们需要计算\(\Delta\Phi\)，也就是旋转操作导致的势能变化，需要分情况讨论，用\(\phi'(x)\)表示操作完之后的\(\phi(x)\)
然后考虑\(log\)函数的凸性
\[\begin{aligned}logx_1+logx_2&\leq 2log\frac{x_1+x_2}{2}\\&\leq2log(x_1+x_2)-2\\&\leq 2log(x_1+x_2+a)-2(a\geq 0)\end{aligned}
\]
于是\(logx_1+logx_2-2log(x_1+x_2+a)\leq-2(a\geq0)\)
假设\(x,p,g\)是操作完影响到的点
因为zig和zag是一样的，所以我们只考虑zig
对于zig
\[\begin{aligned}\Delta\Phi&=\phi'(p)-\phi(p)+\phi'(x)-\phi(x)\\&=\phi'(p)-\phi(x)\\&\leq \phi'(x)-\phi(x)\end{aligned}
\]
对于zig-zig
\[\begin{aligned}\Delta\Phi&=\phi'(g)-\phi(g)+\phi'(x)-\phi(x)+\phi'(p)-\phi(p)\\&=\phi'(g)+\phi'(p)-\phi(p)-\phi(x)\\&\leq \phi'(x)+\phi'(g)-2\phi(x)\\&\leq3\phi'(x)-3\phi(x)+(\phi(x)+\phi'(g)-2\phi'(x))\\&\leq3(\phi'(x)-\phi(x))-2k\end{aligned}
\]
对于zig-zag
\[\begin{aligned}\Delta\Phi&=\phi'(g)-\phi(g)+\phi'(x)-\phi(x)+\phi'(p)-\phi(p)\\&=\phi'(g)+\phi'(p)-\phi(p)-\phi(x)\\&\leq \phi'(x)+\phi'(g)-2\phi(x)\\&\leq2\phi'(x)-2\phi(x)+(\phi'(p)+\phi'(g)-2\phi'(x))\\&\leq2(\phi'(x)-\phi(x))-2k\end{aligned}
\]
于是我们算出对于双旋
\[\begin{aligned}D'&=D+\Delta\Phi\\&\leq2k+3k(\phi'(x)-\phi(x))-2k\\&=3k(\phi'(x)-\phi(x))\end{aligned}
\]
那么splay到根的均摊代价为\(3k(\phi(rt)-\phi(x))=O(logn)\)，zig只有一次操作，所以只会使均摊代价增加\(k\)
于是我们就证得一次splay时间复杂度为\(O(logn)\)
