二阶阻尼系统

在控制工程中，二阶阻尼系统的标准传递函数通常表示为：

\[\Huge G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} \]

其中 \(\zeta\) 为阻尼比（阻尼系数），\(\omega_n\) 为无阻尼自然频率。以下指标通常基于欠阻尼状态（\(0 < \zeta < 1\)）定义。
以下是这三个关键时域性能指标的 LaTeX 公式：

1. 最大超调量 (\(M_p\))

通常指最大百分比超调量，表示系统响应超出稳态值的最大偏离量。

M_p = e^{-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1 - \zeta^2}}} \times 100\%

渲染效果：

\[\Huge M_p = e^{-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1 - \zeta^2}}} \times 100\% \]

2. 峰值时间 (\(T_p\))

系统响应达到第一个超调峰值所需的时间。

T_p = \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}}

渲染效果：

\[\Huge T_p = \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}} \]

3. 调节时间 (\(T_s\))

系统响应达到并保持在稳态值附近特定误差带内所需的时间
系统响应的包络线进入 1% 误差带的条件为 \(e^{-\zeta \omega_n t} = 0.01\)，对其取自然对数得到 \(t = \frac{-\ln(0.01)}{\zeta \omega_n}\)。
由于 \(-\ln(0.01) \approx 4.605\)，在实际工程估算中通常取整为 4.6。
以下是修改后的 \(T_s\) 的 LaTeX 公式：

% 1% 误差带 (精确表达)
T_s = \frac{-\ln(0.01)}{\zeta \omega_n}
% 1% 误差带 (工程近似表达)
T_s \approx \frac{4.6}{\zeta \omega_n}

渲染效果：

\[\Huge T_s = \frac{-\ln(0.01)}{\zeta \omega_n} \]

\[\Huge T_s \approx \frac{4.6}{\zeta \omega_n} \quad (\text{1% 误差带}) \]

PD控制器

使用中，微分项需要用到预测值，可以让参考输入只用比例控制器。