二阶阻尼系统与前馈

在控制工程中，二阶阻尼系统的标准传递函数通常表示为：

\[\Huge G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2} \]

其中 \(\zeta\) 为阻尼比（阻尼系数），\(\omega_n\) 为无阻尼自然频率。以下指标通常基于欠阻尼状态（\(0 < \zeta < 1\)）定义。
以下是这三个关键时域性能指标的 LaTeX 公式：

1. 最大超调量 (\(M_p\))

通常指最大百分比超调量，表示系统响应超出稳态值的最大偏离量。

M_p = e^{-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1 - \zeta^2}}} \times 100\%

渲染效果：

\[\Huge M_p = e^{-\frac{\zeta \pi}{\sqrt{1 - \zeta^2}}} \times 100\% \]

2. 峰值时间 (\(T_p\))

系统响应达到第一个超调峰值所需的时间。

T_p = \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}}

渲染效果：

\[\Huge T_p = \frac{\pi}{\omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}} \]

3. 调节时间 (\(T_s\))

系统响应达到并保持在稳态值附近特定误差带内所需的时间
系统响应的包络线进入 1% 误差带的条件为 \(e^{-\zeta \omega_n t} = 0.01\)，对其取自然对数得到 \(t = \frac{-\ln(0.01)}{\zeta \omega_n}\)。
由于 \(-\ln(0.01) \approx 4.605\)，在实际工程估算中通常取整为 4.6。
以下是修改后的 \(T_s\) 的 LaTeX 公式：

% 1% 误差带 (精确表达)
T_s = \frac{-\ln(0.01)}{\zeta \omega_n}
% 1% 误差带 (工程近似表达)
T_s \approx \frac{4.6}{\zeta \omega_n}

渲染效果：

\[\Huge T_s = \frac{-\ln(0.01)}{\zeta \omega_n} \]

\[\Huge T_s \approx \frac{4.6}{\zeta \omega_n} \quad (\text{1% 误差带}) \]

4. PD 控制器（比例-微分控制器）

PD 控制器结合了比例控制和微分控制的作用。
使用中，微分项需要用到预测值，可以让参考输入只用比例控制器。其传递函数通常表示为：

\[C(s) = K_p + K_d s = K_p \left( 1 + T_d s \right) \]

其中 \(K_p\) 为比例增益，\(K_d\) 为微分增益，\(T_d\) 为微分时间常数。
关于参考输入的处理：
在实际应用中，理想的微分项 \(K_d s\) 对高频噪声非常敏感，且如果直接对误差信号 \(e(t) = r(t) - y(t)\) 进行微分，当参考输入 \(r(t)\) 发生阶跃突变时，\(\dot{e}(t)\) 会产生无穷大的冲击，导致执行器饱和。
为了解决这个问题，通常不对参考输入进行微分，仅对系统输出 \(y(t)\) 进行微分（即利用输出量的“预测值”进行反馈）。
此时控制量的时域表达式为：

u(t) = K_p e(t) - K_d \frac{dy(t)}{dt}

对应的拉普拉斯变换形式为：

U(s) = K_p [R(s) - Y(s)] - K_d s Y(s)

整理后可得：

\[\Huge U(s) = K_p R(s) - (K_p + K_d s) Y(s) \]

这种结构避免了参考输入突变引起的冲击，同时保留了微分项改善系统阻尼、增加稳定性的作用。

5. 前馈控制消除稳态误差

为了消除系统的稳态误差，可以在参考输入端引入前馈控制。如果对象模型 \(G(s)\) 已知且准确，我们可以设置前馈通道的增益为 \(G(s)\) 在 \(s=0\) 处的逆，即 \(G^{-1}(0)\)。
设计原理：
将前馈模块 \(F(s)\) 设置为对象 DC 增益的倒数：

\[F(s) = \frac{1}{G(0)} \]

此时，系统的输入变为 \(R'(s) = F(s)R(s)\)。
利用终值定理证明：
假设输入为单位阶跃信号 \(R(s) = \frac{1}{s}\)。
系统的输出为：

\[Y(s) = G(s) \cdot F(s) \cdot R(s) = G(s) \cdot \frac{1}{G(0)} \cdot \frac{1}{s} \]

根据终值定理，系统的稳态值为：

y(\infty) = \lim_{s \to 0} s Y(s) = \lim_{s \to 0} s \left[ G(s) \cdot \frac{1}{G(0)} \cdot \frac{1}{s} \right]

计算极限：

\[\Huge y(\infty) = \lim_{s \to 0} \frac{G(s)}{G(0)} = \frac{G(0)}{G(0)} = 1 \]

由于输入信号的稳态值 \(r(\infty) = 1\)，系统的稳态误差 \(e_{ss} = r(\infty) - y(\infty) = 1 - 1 = 0\)。
结论： 通过引入 \(G^{-1}(0)\) 前馈，可以将系统的稳态输出校准为与参考输入一致，从而消除稳态误差。