系统模型、分析与控制

参考资料

1. 谷国迎、张伟军老师上课ppt 提取码: sjtu

1.Laplace变换

详细原理不多赘述，本博客数理方法有做介绍
这里放一张表格和两个总结

Laplace变换表

总结1.常用变换

f(t)	F(s)	f(t)	F(s)
\(\delta(t)\)	\(1\)	\(e^{-at}u(t)\)	\(\frac{1}{s+a}\)
\(u(t)\)	\(\frac{1}{s}\)	\(sin(\omega t)u(t)\)	\(\frac{\omega}{s^2+\omega^2}\)
\(tu(t)\)	\(\frac{1}{s^2}\)	\(cos(\omega t)u(t)\)	\(\frac{s}{s^2+\omega^2}\)
\(t^nu(t)\)	\(\frac{n!}{s^{n+1}}\)	\(t^ne^{-at}u(t)\)	\(\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}\)

总结2.性质总结

1. 线性：\(L[a·f(t)+b·g(t)]=a·F(s)+b·G(s)\)
2. 时延：\(L\)

（暂且搁置，期末只考后半部分）

1.频域分析#

1.1指数函数的响应函数

设系统的传递函数为\(G(s)\)，输入为\(u(t)=e^{s_{1}t}\)

\[y(t)=\int_{0}^{\infty}g(\tau)u(t-\tau)d\tau=\int_{0}^{\infty}g(\tau)e^{s_{1}(t-\tau)}d\tau=\int_{0}^{\infty}g(\tau)e^{-s_{1}\tau}d\tau e^{s_{1}t}=G(s_{1})e^{s_{1}t} \]

例题：

1.2极坐标图/Nyquist图

传递函数\(G(j\omega)\)的极坐标图：\(\omega\)从\(0 \sim \infty\)变化时，表示在极坐标上的\(G(j\omega)\)的幅值和相位的关系图

系统类型与Nyquist图

\[G(j\omega =\frac{K(1+j\omega \tau_1)(1+j\omega \tau_2)\dots (1+j\omega \tau_m)}{(j\omega^{\nu})(1+j\omega T_1)(1+j\omega T_2)\dots (1+j\omega T_{n-\nu})}) \]

1. Nyquist图的起点取决于系统类型
2. Nyquist图的重点取决于\(n-m\)

1.3Bode图

Nyquist图的缺点

1. 适量相乘Nyquist图表示不直观

2. 不同的传递函数可能对应用一张Nyquist图

3. 如果联合频率拓展到负值的情形，Lead和Lag补偿器没有明显的区别

4. 幅值相位曲线中，无法定位到确切的零频值。

5. 幅值曲线中，扩展了低频的表达细节，压缩了高频的表达细节，各有利弊。

6. 手绘Bode图，幅值采用渐进线方式，相位采用某些关键频率点的相角值光滑连接的方式，是幅值及相位曲线的粗略表达。

7. 将传递函数写成基本环节相乘的形式

8. 确定基本环节的转角频率

9. 按照渐近线连接对数幅值-频率曲线

10. 渐近线之间采用曲线过渡

11. 确定\(\omega =0,\omega =\infty\)以及中间点的相位

12. 光滑连接相位曲线

1. 低频部分只保留\(\frac{k}{s^{\nu}}\)
2. 系统类型=开环极点\(s\)的数目
3. 零点\(n-m\)值可以用高频段的频率获取

估计传递函数的步骤

1. 确定基本环节的个数
2. 确定转角频率
3. 确定增益k
4. 检查相位曲线是否符合所得传递函数

1.4频域稳定性

1.4.1频域稳定性判据（Nyquist稳定性判据）

针对单位负反馈系统：如果开环传递函数\(G(s)\)有\(k\) 个 \(s\)有伴平面几点，那么稳定性要求：$ G(j\omega) $ 的轨迹，当$ \omega $ 从 $ -\infty \(变化到\)\infty \(时候，曲线需要逆时针包围\)(-1+j_0,0)\(点\)k$次
即：

\[Z=N+P \]

$Z$：$1+G(s)$右半$s$平面的零点，即闭环极点
$N$：开环传递函数$G(s)Nyquist$曲线环绕$(-1+j_0,0)$点逆时针的圈数
$P$：开环传递函数$G(s)$右半平面的极点

1.4.2幅值裕量和相位裕量

Phase Margin（相位裕量）\(|G(j\omega_c)|=1,\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)\)
Gain Margin（幅值裕量/增益裕量）\(\varphi(\omega_g)=180^\circ,k_g=\frac{1}{|G(j\omega_g)|}\)

1.4.3超前补偿器（主要作用于中频段）

1. 对未补偿的系统画Bode图，明确不足的指标；
2. 确定放大系数\(K_{ca}\) 满足静态误差要求；
3. 根据新的放大系数，计算补偿量；
4. 确定\(\alpha\), 附加\(5 \sim 12^\circ\) 额外的相位裕量；
5. 根据幅值偏移决定\(T\)；
6. 检测是否满足指标。

\[超前相位\phi_m=\arcsin \frac{1-\alpha}{1+\alpha} \quad 几何中心\omega_m=\frac{1}{sqrt{\alpha}T} \]

1.4.4滞后补偿器（主要考虑低频段）

\[G_c(s)=K \beta \frac{Ts+1}{\beta Ts+1} \]

Tips:

1. 滞后补偿器的放大部分可以提高稳态精度。\(\frac{1}{T}\)和\(\frac{1}{\beta T}\)应远离\(\omega_c\)，从而避免对相位裕量产生较大的影响
2. 减小\(\omega_c\)可获取相位裕量，提高精度，使动态性能变差，抑制噪声，方便情况下可取\(\beta =10\)
3. 当\(\omega_c\)处倾斜度较大（-60）的时候可以考虑采用滞后补偿器

1.4.4滞后-超前补偿器

\[G_c(s)=K_c(\frac{T_1s+1}{\frac{1}{\beta} T_1s+1})(\frac{T_2s+1}{\beta T_2s+1}) \]

1. 计算原开环传递函数的\(\omega_c \omega_g\)
2. 得到相位差\(\phi_m\)，计算\(\beta=\frac{1-\sin \phi_m}{1+\sin \phi_m}\)
3. \(\omega_g=\omega_m,\frac{1}{T_2}=\frac{\omega_m}{2} \sim \frac{\omega_m}{10}\)
4. 用\(\frac{-L(\omega_m)+20\log_{10} \beta}{\log_{10} \omega_m -\log_{10} \frac{1}{T_1}}=20\)计算得到\(T_1\)

1.5状态空间

矩阵描述

传递函数的计算

\[G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D \]

方块图转化为状态空间

标准型
能控标准型、能观标准型、对角标准型、Jordan标准型

状态转移矩阵
状态转移矩阵+初始状态可决定状态向量\(x(t)\)
对于齐次方程

\[\Phi(t)=L^{-1}[(sI-A)^{-1}] \]

对于非齐次方程

\[x(t)=\Phi(t)x(0)+\int_{0}^{t}\Phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau \]

1.6能控性和能观性

能控性：对于线性定常系统，\(\dot{x}=Ax+Bu\)，在有限的时间区间\((t_0,t_f)\)内，如果存在一个分段连续的输入\(u(t)\)，使某一任意初始状态\(x(t_0)\)可转移到另一终端状态\(x(t_f)\)，则称系统是能控的

能控性只回答能或者不能的问题，不解决怎样控制的问题

系统完全能控要求能控性矩阵满秩：

\[\begin{bmatrix} B & AB & \dots & A^{n-1}B \end{bmatrix} \]

能观性：对于线性定常系统，\(\dot{x}=Ax+Bu \ x(t_0)=x_0 \ y=Cx\)，在有限的时间区间\((t_0,t_f)\)内，能否根据该时间区间内的输出\(y(t)\)确定系统的初始状态\(x(t_0)\)

系统完全能观要求能观性矩阵满秩：

\[\begin{bmatrix} C \\ CA \\ \vdots \\ CA^{n-1} \end{bmatrix} \]

镇定：对于部分能控系统，如果不能控的部分是稳定的，不稳定的部分是能控的，则整个系统是镇定的。
能检测的：对部分能观的系统，如不能观的部分是稳定的，不稳
定的部分是能观的，则称该系统为能检测的。

1.7状态反馈

此时\(K\)：状态反馈增益矩阵

极点配置法：必要条件是系统完全可控

阶数小于3的求解：
将矩阵\(K\)带入特征多项式求解

\[|sI-A+BK|=(s-\mu_1)(s-\mu_2)(s-\mu_3) \]

通过\(s\)的对应系数相等可求得\(K\)

1.8状态观测器

阶数小于3的求解：
将矩阵\(K_e\)带入特征多项式求解

\[|sI-A+K_eC|=(s-\mu_1)(s-\mu_2)(s-\mu_3) \]

通过\(s\)的对应系数相等可求得\(K_e\)