数理方法整理（随时更新）

参考资料：
数学物理方法（第二版）上海交通大学数学系 组编
Complex Analysis (Elias M. Stein, Rami Shakarchi) (Z-Library)
# 冲激函数和傅里叶变换
# 对阶跃函数Fourier变换的讨论
物理方程介绍：# [顾樵 数学物理方法] Chap.1 基本数理方程
分离变量法参考：# [顾樵 数学物理方法] Chap.2 分离变量法
特征值解法参考：# 偏微分方程的常见解法——特征线法

对于波动方程的列出，直接参考上述资料中物理方程介绍中第一板块内容
然后这里先给出一个重要的定理——叠加原理

叠加原理：设函数\(u_{i}\)满足线性方程或线性定解条件

\[Lu_{i}=f_{i} \quad i=1,2,\cdots ,n \]

则线性组合\(u=\sum_{i=1}^{n}c_{i}u_{i}\)满足方程或定解条件

\[Lu=\sum_{i=1}^{n}c_{i}f_{i} \]

\(n\)可以是\(+\infty\)
进一步的，叠加原理也可以是积分形式的

设函数\(u=U(M,M_{0})\)满足线性方程或线性定解条件

\[Lu=f(M,M_{0}), \]

其中\(M\)是空间的点，\(M_{0}\)为参数，则当积分

\[U(M)=\int u(M,M_{0})dM_{0} \]

存在且满足微分与积分运算可交换的条件时，有

\[L(U(M))=\int f(M,M_{0})dM_{0} \]

再介绍一个重要的东西——傅里叶级数的展开

设\(f_{T}(t)为以T(0<T<+\infty)\)为周期的实函数，且在\([-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]\)满足Dirichlet条件：\(f_{T}(t)\)连续或仅有有限个第一类间断点；\(f_{T}(t)\)仅有有限个极值点。则\(f_{T}(t)\)可展开为傅里叶级数，且在连续点\(t\)处有：

\[f_{T}(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_{n}\cos n\omega t +b_{n}\sin n\omega t) \]

其中

\[\left\{\begin{matrix} \omega =\frac{2\pi}{T}\\ a_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(t)\cos n\omega tdt \quad (n=0,1,\cdots )\\ b_{n}=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(t)\sin n\omega tdt \quad (n=0,1,\cdots ) \end{matrix}\right. \]

在间断点\(t\)处有

\[\frac{f_{T}(t+0)+f_{T}(t-0)}{2}=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_{n}\cos n\omega t +b_{n}\sin n\omega t) \]

类比线性代数中正交基的概念，这里定义一种“正交”：

现在有定义在\([-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]\)的两个函数\(f(x),g(x)\)如果：

\[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)g(x)dx=0 \]

则\(f(x),g(x)\)正交

对于\(\sin(k\omega t)\)

\[\begin{matrix} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sin(k\omega t)\sin(n\omega t)dt= \frac{1}{2}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos((k-n)\omega t)-\cos((k+n)\omega t)dt=0\\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sin(k\omega t)\cos(n\omega t)dt= \frac{1}{2}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sin((k+n)\omega t)+\sin((k-n)\omega t)dt=0 \end{matrix} \]

显然，\(\{\sin(n\omega t) ,\cos(n\omega t) \}\ (n=1,2,\cdots)\)是一组“正交基”

所以对于傅里叶级数的展开

\[f_{T}(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_{n}\cos n\omega t +b_{n}\sin n\omega t)\\ \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(t)\cos n\omega tdt=a_{n}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos^2 n\omega tdt=a_{n}\frac{T}{2} \]

1.分离变量法（有限区域上的求解）

分离变量法，其作用是把一个多元函数的微分方程，转换成多个单元的微分方程

分离变量的基础操作

对于一个一维的波动函数，其解是一个关于\(x,t\)的多元函数\(u(x,t)\)
我们不妨假设其形式为

\[u(x,t)=X(x)T(t) \]

显然这样的假设不具有普遍性，需要满足以下两个条件（举例参考上述资料）

• 给出的泛定方程必须是齐次的
• 给出的边界条件必须是齐次的

我们先来研究一下泛定方程齐次的情况，并给出一定的边界条件

\[\left\{\begin{matrix} \frac{\partial^2u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2u}{\partial x^2} =0\\ u|_{x=0}=0 \quad u|_{x=L}=0\\ u|_{t=0}=\phi (x) \quad \frac{\partial u}{\partial t}|_{t=0}=\varphi(x) \end{matrix}\right. \]

也可以写成这样

\[\left\{\begin{matrix} u_{tt}-a^2 u_{xx} =0\\ u(0,t)=0 \quad u(L,t)=0\\ u(x,0)=\phi (x) \quad u_{t}(x,0)=\varphi(x) \end{matrix}\right. \]

这个方程组告诉我们：

• 我们所考虑的区间两端是固定的，任意时刻两端没有位移
• 这个波动具有初始位移（\(u(x,0)\)）和初始速度（\(u_{t}(x,0)\)）

首先我们假设微分方程的解具有这样的形式：

\[u(x,t)=X(x)T(t) \]

带入方程可以得到：

\[X(x)T''(t)-a^2X''(x)T(t)=0 \]

分离变量，再来一个不妨设：（其中$-\lambda $被称为分离常数-separation constant）

\[\frac{X''(x)}{X(x)}=\frac{1}{a^2} \frac{T''(t)}{T(t)}=-\lambda \]

于是我们就得到两个单变量的微分方程：

\[\begin{matrix} X''(x)+\lambda X(x)=0\\ T''(t)+a^2\lambda T(t)=0 \end{matrix} \]

由于边界条件的齐次性，可以开始着手解这个微分方程：

\[\begin{matrix} X''(x)+\lambda X(x)=0 \quad (0<x<L) \\ u|_{x=0}=0 \quad u|_{x=L}=0 \end{matrix} \]

对于这个微分方程，我们对\(\lambda\)的取值做出一些讨论

1)\(\lambda=0\)，此时\(X''(x)=0\)，其通解为\(X(x)=A+Bx\)
再带入初始的边界条件可以得到：\(A=B=0\)
所以\(u(x,t)\)的一个平凡解：\(u(x,t)=0\)

2)\(\lambda<0\)，这个时候方程的通解为：

\[X(x)=A\cosh(\sqrt{-\lambda}x)+B\sinh(\sqrt{-\lambda}x) \]

根据边界条件\(X(0)=0,X(L)=0\)，可以得到\(A=B=0\)
所以\(u(x,t)\)的一个平凡解：\(u(x,t)=0\)

3)\(\lambda>0\)，这个时候方程的通解为：

\[X(x)=A\cos(\sqrt{\lambda} x)+B\sin(\sqrt{\lambda} x) \]

带入边界条件\(X(0)=0,X(L)=0\)，得到\(A=0,B\sin(\sqrt{\lambda}L)=0\)

• \(B=0\)再次给出平凡解
• \(\sin(\sqrt{\lambda}L)=0\)则有\(\lambda _{n}=(\frac{n\pi}{L})^2\)

所以有解：

\[X_{n}(x)=B_{n}\sin(\frac{n\pi}{L}x) \]

此时，解出了\(\lambda\)之后，可以将其代入\(T(t\)的微分方程：

\[T''(t)+(\frac{an\pi}{L})^2 T(t)=0 \]

显然，这一项\((\frac{an\pi}{L})^2\)大于0，因而\(T(t)\)的通解为：

\[T_{n}(t)=E_{n}\cos(\frac{an\pi}{L}t)+F_{n}\sin(\frac{an\pi}{L}t) \]

得到\(X(x),T(t)\)的通解后，根据叠加定理则有：

\[\begin{matrix} u(x,t)=\sum_{n=1}^{+\infty}(C_{n}\cos(\frac{an\pi}{L}t)+D_{n}\sin(\frac{an\pi}{L}t))\sin(\frac{n\pi}{L}x)\\ (C_{n}=E_{n}B_{n},D_{n}=F_{n}B_{n}) \end{matrix} \]

再利用上剩下两个边界条件$ u(x,0)=\phi (x) \quad u_{t}(x,0)=\varphi(x)$

\[\sum_{n=1}^{+\infty}C_{n}\sin(\frac{n\pi}{L}x)=\phi (x)\\ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{an\pi}{L}D_{n}\sin(\frac{n\pi}{L}x)=\varphi(x) \]

这里再利用傅里叶的级数展开

\[C_{n}=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\phi(x)\sin(\frac{n\pi}{L}x)dx\\ D_{n}=\frac{2}{an\pi}\int_{0}^{L}\varphi(x)\sin(\frac{n\pi}{L}x)dx \]

现在有一个问题值得思考一下：为什么先通过\(X(x)\)的微分方程求解\(\lambda\)？
这是因为给出的例子中，\(X(x)\)的初始边界条件是齐次的，这是一个可以用分离变量法的重要条件
所以使用分离变量法有三个条件

• 泛定方程是线性的
• 泛定方程是齐次的
• 边界条件是齐次的

1.1热传导方程的解

齐次方程如下

\[\left\{\begin{matrix} u_{t}-a^2u_{xx}=0,\quad 0<x<l,\ t>0\\ u|_{x=0}=0,\ u|_{x=l}=0\\ u|_{t=0}=\varphi(x) \end{matrix}\right. \]

分离变量后可以得到

\[\left\{\begin{matrix} X''(x)+\lambda X(x)=0\\ T'(t)+\lambda a^2T(t)=0 \end{matrix}\right. \]

根据上面的结论，很快得到

\[\lambda_{n}=(\frac{n\pi}{l})^2,\quad X_{n}(x)=B_{n}\sin(\frac{n\pi}{l}x),\ n=1,2,\cdots. \]

相应的，另一个微分方程的解为

\[T_{n}(t)=D_{n}e^{-(\frac{an\pi}{l})^2t},n=1,2,\cdots. \]

所以方程的解

\[u(x,t)=\sum_{n=1}^{+\infty}X_{n}(x)T_{n}(t)=\sum_{n=1}^{+\infty}C_{n}e^{-(\frac{an\pi}{l})^2t}\sin(\frac{n\pi}{l}x) \]

根据初始边界条件\(u|_{t=0}=\varphi(x)\)，解得

\[C_{n}=\frac{2}{l}\int_{0}^{l}\varphi(\xi)\sin(\frac{n\pi}{l}\xi)d\xi ,\ n=1,2,\cdots. \]

1.2调和方程的解

1.2.1矩形域

\[\left\{\begin{matrix} u_{xx}+u_{yy}=0,\quad 0<x<a,\ 0<y<b\\ u|_{x=0}=0,\ u|_{x=a}=0\\ u|_{y=0}=0,\ u|_{y=b}=\varphi(x) \end{matrix}\right. \]

相应的分离变量后得到

\[\left\{\begin{matrix} X''(x)+\lambda X(x)=0\\ Y''(y)-\lambda Y(y)=0 \end{matrix}\right. \]

根据初始条件可以依旧得到\(\lambda _{n}=(\frac{n\pi}{L})^2\)
相应地得到方程的解

\[\begin{matrix} u(x,y)=\sum_{n=1}^{+\infty}Y_{n}(y)X_{n}(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(A_{n}\cosh\frac{n\pi y}{a}+B_{n}\sinh\frac{n\pi y}{a})\sin\frac{n\pi a}{a} \end{matrix} \]

接下来进行傅里叶级数系数求解即可

1.2.2圆域

\[\left\{\begin{matrix} u_{xx}+u_{yy}=0,\quad x^2+y^2<a^2\\ u|_{x^2+y^2=a^2}=\varphi(x,y), \end{matrix}\right. \]

利用极坐标可以化为

\[\left\{\begin{matrix} \Delta u=u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^2}u_{\theta \theta}=0\quad r<a,\ 0\le 0<2\pi \\ u|_{r=a}=f(\theta) \end{matrix}\right. \]

显然我们还有几个边界条件

\[\left\{\begin{matrix} u(r,\theta)=u(r,\theta +2\pi) \\ \mid u(0,\theta) \mid <+\infty \end{matrix}\right. \]

分离变量后得到

\[\frac{r^2R''+rR'}{R}=-\frac{\Theta''}{\Theta}=\lambda \]

则化为了以下两个定解问题

\[\left\{\begin{matrix} \Theta''(\theta)+\lambda \Theta(\theta)=0 \\ \Theta(\theta +2\pi)=\Theta(\theta) \end{matrix}\right. \]

\[\left\{\begin{matrix} r^2R''(r)+rR'(r)-\lambda R(r)=0 \\ \mid R(0) \mid <+\infty \end{matrix}\right. \]

对于周期为$ 2\pi$ 的函数 \(\Theta(\theta)\)的解

1)\(\lambda=0\)，此时通解为\(\Theta (\theta)=C+D\theta\)
根据周期性可以得到\(D=0\)，\(\Theta(\theta)=C_{0}\)

2)\(\lambda<0\)，这个时候方程的通解为：

\[\Theta (\theta)=A\cosh(\sqrt{-\lambda}\theta)+B\sinh(\sqrt{-\lambda}\theta) \]

根据周期性可以得到\(A=B=0\)

3)\(\lambda>0\)，这个时候方程的通解为：

\[\Theta (\theta)=C\cos(\sqrt{\lambda} \theta)+D\sin(\sqrt{\lambda} \theta) \]

带入边界条件\(X(0)=0\)，得到\(A=0\)
周期为$ 2\pi$ 得到 \(\sqrt{\lambda}\)必须为正整数

\[\lambda_{n}=n^2，\Theta_{n}(\theta)=C_{n}\cos n\theta+D_{n}\sin n\theta,\ n=1,2,\cdots \]

另一个方程是欧拉方程，令\(r=e^t\)代入得到

\[\frac{d^2R}{dt^2}-n^2R=0,\ n=1,2,\cdots \]

上述通解为：

\[\begin{matrix} R_{0}(r)=C_{0}+D_{0}t=C_{0}+D_{0}lnr,\ n=0\\ R_{0}(r)=C_{n}e^{nt}+D_{n}e^{-nt}=C_{n}r^n+D_{n}r^{-n},\ n=1,2,\cdots \end{matrix} \]

而\(\mid R(0) \mid <+\infty\)，所以\(D_{n}=0,\ n=0,1,2,\cdots\)
从而

\[R_{0}(r)=C_{0},\quad R_{n}(r)=C_{n}r^n,\ n=1,2,\cdots \]

所以方程的解\(u(r,\theta)\)

\[u(r,\theta)=\sum_{n=0}^{+\infty}\Theta_{n}R_{n}=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=0}^{+\infty}(a_{n}\cos n\theta+b_{n}\sin n\theta)r^n \]

根据边界条件：

\[u(a\theta)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=0}^{+\infty}(a_{n}\cos n\theta+b_{n}\sin n\theta)a^n=f(\theta) \]

得到系数

\[\left\{\begin{matrix} a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi}f(\theta)d\theta \\ a_{n}=\frac{1}{\pi a^n}\int_{0}^{2\pi}f(\theta)\cos n\theta d\theta\\ b_{n}=\frac{1}{\pi a^n}\int_{0}^{2\pi}f(\theta)\sin n\theta d\theta \end{matrix}\right. \]

2.傅里叶/拉普拉斯变换

2.1傅里叶积分定理/拉普拉斯变换存在定理

对于傅里叶级数展开的公式

\[f_{T}(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_{n}\cos n\omega t +b_{n}\sin n\omega t) \]

利用一下欧拉公式转换成复数形式得到：

\[\begin{matrix} f_{T}(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_{n}\frac{e^{in\omega t}+e^{-in\omega t}}{2} +b_{n}\frac{e^{in\omega t}-e^{-in\omega t}}{2})\\ f_{T}(t)=\frac{a_{0}}{2}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}((a_{n}-b_{n}i)e^{in\omega t}+(a_{n}+b_{n}i)e^{-in\omega t}) \end{matrix} \]

这里令$ c_{n}=\frac{a_{n}-b_{n}i}{2},d_{n}=\frac{a_{n}+b_{n}i}{2} $

\[\begin{matrix} c_{n}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(t)(\cos n\omega t-i\sin n\omega t)dt= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(t)e^{-in\omega t}dt \\ d_{n}=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(t)(\cos n\omega t+i\sin n\omega t)dt= \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(t)e^{in\omega t}dt \end{matrix} \]

显然\(d_{n}=c_{-n}\)，所以

\[f_{T}(t)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(\tau )e^{-in\omega \tau}d\tau ]e^{in\omega t} \]

那么对于非周期函数\(f(t)\)，可以看做是周期无限大的周期函数，则有

\[f(t)=\lim_{T \to +\infty}f_{T}(t)=\lim_{T \to +\infty}\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(\tau )e^{-in\omega \tau}d\tau ]e^{in\omega t} \]

此时，我们令\(\omega _{n}=n\omega,\delta \omega _{n}=\omega =\frac{2\pi}{T}\)

\[f(t)=\lim_{T \to +\infty}\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(\tau )e^{-in\omega \tau}d\tau ]e^{in\omega t}= \lim_{\delta \omega _{n} \to 0}\frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(\tau )e^{-i\omega _{n}\tau}d\tau ]e^{i\omega _{n}t}\delta\omega _{n}\\ \]

此时我们把这一坨\(\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f_{T}(\tau )e^{-i\omega _{n}\tau}d\tau\)拿出来，可以得到

\[\begin{matrix} F(\omega)=\lim_{T \to +\infty}F_{T}(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt\\ f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega )e^{i\omega t}d\omega \end{matrix} \]

这样就已经得到了傅里叶变换（前式）和傅里叶逆变换（后式）
对于傅里叶积分定理

\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)e^{-i\omega \tau}d\tau ]e^{i\omega t}d\omega \]

需要满足

• 在任意有限区间上满足狄利克雷条件
• 在区间\((-\infty ,+\infty)\)上绝对可积

那么对于不满足上述第二条条件的函数怎么办？
我们可以想到在原来的函数上乘上一个因子\(e^{-pt}\)使得这个函数在区间\([0,+\infty)\)上绝对可积

给出先行的定义：

对于实变量的实值（或复值）函数\(f(t)\)，若存在\(M>0\)及实数\(\sigma_{c}\)，使得

\[\mid f(t) \mid \le Me^{\sigma_{c}t},\ \forall t \ge 0 \]

则称\(f(t)\)为指数级函数，\(\sigma_{c}\)称为增长指数

拉普拉斯存在性定理：若函数\(f(t)\)满足：

• 在\(t \ge 0\)的任一有限区间上分段连续
• 当\(t \to +\infty\)时，\(f(t)\)为指数级函数

则\(F(p)=\mathcal{L}[f(t)]=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-pt}dt\)在半平面\(Re(p)>\sigma_{c}\)上存在且解析，其中，\(\sigma_{c}\)是\(f(t)\)的增长指数

2.2傅里叶变换/拉普拉斯变换性质

上述\(f(t),F(\omega )\)，记

\[\begin{matrix} F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]\\ f(t)=\mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] \end{matrix} \]

傅里叶变换的性质：
\(\alpha ,\beta,t_{0},\omega _{0}\)是任意的常数，
\(F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]，G(\omega)=\mathcal{F}[g(t)]\)
\(F(p)=\mathcal{L}[f(t)]，G(p)=\mathcal{L}[g(t)]\)

1)线性性质

\[\begin{matrix} \mathcal{F}[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(\omega)+\beta G(\omega)\\ \mathcal{F}^{-1}[\alpha F(\omega)+\beta G(\omega)]=\alpha f(t)+\beta g(t)\\ \\ \mathcal{L}[\alpha f(t)+\beta g(t)]=\alpha F(p)+\beta G(p)\\ \mathcal{L}^{-1}[\alpha F(p)+\beta G(p)]=\alpha f(t)+\beta g(t) \end{matrix} \]

2)对称性质

\[\mathcal{F}[F(t)]=2\pi f(-\omega) \]

3)位移性质/延迟性质

\[\begin{matrix} \mathcal{F}[f(t-t_{0})]=e^{-i\omega t_{0}}F(\omega)\\ \mathcal{F}^{-1}[F(\omega -\omega_{0})]=e^{i\omega_{0} t}f(t)\\ \\ F(p-p_{0})=\mathcal{L}[e^{p_{0}t}f(t)]\\ \mathcal{L}^{-1}[F(p-p_{0})]=e^{p_{0}t}f(t)\\ \\ \mathcal{L}[f(t-t_{0})u(t-t_{0})]=e^{-pt_{0}}F(p)\\ \mathcal{L}^{-1}[e^{-pt_{0}}F(p)]=f(t-t_{0})u(t-t_{0}) \end{matrix} \]

4)相似性质

\[\begin{matrix} \mathcal{F}[f(at)]=\frac{1}{\mid a \mid}F(\frac{\omega}{a})\\ \mathcal{F}^{-1}[F(a\omega)]=\frac{1}{\mid a \mid}f(\frac{t}{a})\\ \\ \mathcal{L}[f(at)]=\frac{1}{a}F(\frac{p}{a})\\ \mathcal{L}^{-1}[F(ap)]=\frac{1}{a}f(\frac{t}{a}) \end{matrix} \]

5)微分性质，若$\lim_{\mid t \mid \to +\infty}f^{(k)}(t)=0\ (k=0,1,\cdots ,n-1) $

\[\begin{matrix} \mathcal{F}[f^{(n)}(t)]=(i\omega )^{n}F(\omega)\\ F^{(n)}(\omega)=(-i)^{n}\mathcal{F}[t^{n}f(t)] \end{matrix} \]

这里指出，附加条件是满足傅里叶存在性条件的必要条件

若\(f(t)\)在\([0,+\infty]\)上\(n\)次可微，且\(f^{(n)}\)满足拉普拉斯存在定理，则

\[\begin{matrix} \mathcal{L}[f^{(n)}(t)]=p^{n}F(p)-p^{n-1}f(0)-p^{n-2}f'(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)\\ F^{(n)}(p)=(-1)^{n}\mathcal{L}[t^{n}f(t)] \end{matrix} \]

6)积分性质，若\(\lim_{t \to +\infty}\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau =0\)

\[\begin{matrix} \mathcal{F}[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau]=\frac{1}{i\omega}F(\omega)\\ \\ \mathcal{L}[\int_{0}^{t}f(s)ds]=\frac{F(p)}{p}\\ \end{matrix} \]

若\(\int_{p}^{+\infty}F(s)ds\)收敛

\[\int_{p}^{+\infty}F(s)ds=\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}] \]

7)卷积性质

卷积定义：设\(f(t),g(t)\)是定义在\((-\infty,+\infty)\)上的两个函数，如果积分

\[\int_{-\infty}^{+\infty}f(s)g(t-s)ds \]

存在，称其为函数\(f(t),g(t)\)的卷积，记为

\[f(t)\ast g(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(s)g(t-s)ds \]

\[\begin{matrix} \mathcal{F}[f\ast g]=\mathcal{F}[f(t)]\cdot \mathcal{F}[g(t)]=F(\omega )\cdot G(\omega )\\ \mathcal{F}[f\cdot g]=\frac{1}{2\pi}\mathcal{F}[f(t)]\ast \mathcal{F}[g(t)]=\frac{1}{2\pi}F(\omega )\ast G(\omega)\\ \\ \mathcal{L}[f\ast g]=\mathcal{L}[f]\mathcal{L}[g]=F(p)G(p)\\ \mathcal{L}^{-1}[F(p)G(p)]=f(t)\ast g(t) \end{matrix} \]

8)周期性质，若\(f(t)\)是周期为\(T\)的函数，则

\[\mathcal{L}[f(t)]=\frac{\int_{0}^{T}f(t)e^{-pt}dt}{1-e^{-pT}} \]

2.3傅里叶变换\拉普拉斯变换的应用

从上述傅里叶变换的微分性质可以得到，傅里叶变换可以将微分方程转化为函数的代数运算
举个例子！

求解二阶常系数非齐次常微分方程（注意和分离变量法求解的情况区分）

\[x''(t)-x(t)=-f(t),\ -\infty<t<+\infty \]

此时两边进行傅里叶变换，记\(\mathcal{F}[x(t)]=X(\omega),\ \mathcal{F}[f(t)]=F(\omega)\)，得到：

\[\begin{matrix} -\omega^{2}X(\omega)-X(\omega)=-F(\omega)\\ X(\omega)=\frac{F(\omega)}{1+\omega^{2}} \end{matrix} \]

两边求傅里叶逆变换，利用卷积得到：

\[x(t)=\mathcal{F}^{-1}[\frac{F(\omega)}{1+\omega^{2}}]=\mathcal{F}^{-1}[\frac{1}{1+\omega^{2}}]\ast \mathcal{F}^{-1}[F(\omega)] \]

剩下步骤查表即可

而对于拉普拉斯变换，也可以通过类似的方法做，举个例子！

求二阶常微分方程初始值问题

\[\left\{\begin{matrix} x''(t)-2x'(t)+2x(t)=2e^{t}\cos t\\ x(0)=0,\quad x'(0)=0 \end{matrix}\right. \]

令\(X(p)=\mathcal{L}[x(t)]\)，方程两边进行拉普拉斯变换，得到：

\[\begin{matrix} p^2X(p)-pX(0)-x'(0)-2(pX(p)-x(0))+2X(p)=[p^2-2p+2]X(p)=\frac{2(p-1)}{[(p-1)^2+1]}\\ X(p)=\frac{2(p-1)}{[(p-1)^2+1]^2} \end{matrix} \]

再进行拉普拉斯逆变换

\[x(t)=\mathcal{L}^{-1}[\frac{2(p-1)}{[(p-1)^2+1]^2}]\\ =e^{t}\mathcal{L}^{-1}[\frac{2p}{(p^2+1)^2}]\\ =-e^{t}\mathcal{L}^{-1}[(\frac{1}{p^2+1})']\\ =te^t\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{p^2+1}]=te^t\sin t \]

2.4傅里叶\拉普拉斯广义积分

直接跳到9.冲激函数和阶跃函数这一块看吧

3.行波法（无边界条件）

3.1达朗贝尔公式

无限长弦的自由振动有

\[\left\{\begin{matrix} u_{tt}-a^2u_{xx}=0 \quad -\infty<x<+\infty,t>0\\ u|_{t=0}=\varphi(x),\ u_{t}|{t=0}=\phi(x) \end{matrix}\right. \]

接下来进行变量代换

\[\xi =x+at,\ \eta =x-at \]

根据复合函数的求导法则得到

\[\begin{matrix} u_{x}=u_{\xi}\xi_{x}+u_{\eta}\eta_{x}=u_{\xi}+u_{\eta}\\ u_{xx}=(u_{\xi}+u_{\eta})_{\xi}\xi_{x}+(u_{\xi}+u_{\eta})_{\eta}\eta_{x}=u_{\xi \xi}+2u_{\xi \eta}+u_{\eta \eta}\\ u_{t}=u_{\xi}\xi_{t}+u_{\eta}\eta_{t}=au_{\xi}-au_{\eta}\\ u_{tt}=(au_{\xi}-au_{\eta})_{\xi}\xi_{t}+(au_{\xi}-au_{\eta})_{\eta}\eta_{t}=a^2(u_{\xi \xi}-2u_{\xi \eta}+u_{\eta \eta})\\ \end{matrix} \]

代入后得到很简单的式子

\[u_{\xi \eta}=0 \]

所以\(u(x,t)=u(\xi ,\eta )\)有这样的形式

\[u(\xi ,\eta)=F(x+at)+G(x-at) \]

其中\(F(\xi)\)与\(G(\eta)\)是任意二次可微函数，根据初始条件

\[\begin{matrix} F(x)+G(x)=\varphi (x)\\ a[F'(x)-G'(x)]=\phi (x)\\ \\ F(x)-G(x)=\frac{1}{2}\int_{x_{0}}^{x}\phi(t)dt+F(x_{0})-G(x_{0})\\ \\ F(x)=\frac{1}{2}\varphi(x)+\frac{1}{2a}\int_{x_{0}}^{x}\phi(t)dt+\frac{1}{2}[F(x_{0})-G(x_{0})]\\ G(x)=\frac{1}{2}\varphi(x)-\frac{1}{2a}\int_{x_{0}}^{x}\phi(t)dt-\frac{1}{2}[F(x_{0})-G(x_{0})] \end{matrix} \]

原问题的解为达朗贝尔公式（D'Alembert）

\[u(x,t)=\frac{1}{2}[\varphi(x-at)+\varphi(x+at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\phi(\tau)d\tau \]

3.2特征线、决定区域、影响区域

假设此波没有速度项\(\phi(x)\)
那么达朗贝尔公式揭示了：弦上的任意初始扰动，总以传播波的形式分别向左、右方向传播出去

现在我们关注时刻\(t_{0}\)位于点\(x_{0}\)的值，则达朗贝尔公式有

\[u(x_{0},t_{0})=\frac{1}{2}[\varphi(x_{0}-at_{0})+\varphi(x_{0}+at_{0})]+\frac{1}{2a}\int_{x_{0}-at_{0}}^{x_{0}+at_{0}}\phi(\tau)d\tau \]

如图，在\(x-t\)图中做出两条线\(x-at=x_{0}-at_{0},x+at=x_{0}+at_{0}\)，称为特征线
这个三角形表示了决定\(u(x_{0},t_{0})\)值的区域
\(u(x_{0},t_{0})\)只被两端的\(\varphi\)和区间内\(\phi\)的值决定，此三角形就是决定区域

相对的，两个传播波向两侧传播，其扫过的区域为\(R_{2},R_{3},R_{4},R_{5}\)，这就是影响区域

4.齐次化原理

讨论了这么多齐次方程的解法，来看看非齐次的方程如何解
对于波动方程来讲，从物理角度考虑，方程\(u_{tt}-a^2 u_{xx} =f(x,t)\)中的\(f(x,t)\)表示\(t\)时刻\(x\)处收到的外力
那么瞬时外力的作用可以转化为\(u_{t}|_{t=\tau }=f(x,\tau)d\tau\)，引入参数\(\tau\)
我们记\(v(x,t,\tau)\)是定解问题

\[\left\{\begin{matrix} v_{tt}-a^2v_{xx}=0 \quad 0<x<l,\ t>\tau \\ v|_{t=\tau}=0,\ v_{t}|_{t=\tau}=f(x,\tau) \end{matrix}\right. \]

的解，总外力可以看做无数瞬时外力的合作用，那么根据叠加原理：

\[u(x,t)=\int_{0}^{t}v(x,t,\tau)d\tau \]

根据达朗贝尔公式得到

\[v(x,t,\tau)=\frac{1}{2a}\int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(\xi,\tau)d\xi \]

原非齐次方程可以拆分成齐次方程和无初位移和初速度的非齐次方程，因而只要在上面给出的达朗贝尔公式修改一下即可，得到

\[u(x,t)=\frac{1}{2}[\varphi(x-at)+\varphi(x+at)]+\frac{1}{2a}\int_{x-at}^{x+at}\phi(\tau)d\tau+\frac{1}{2a}\int_{0}^{t}\int_{x-a(t-\tau)}^{x+a(t-\tau)}f(\xi,\tau)d\xi d\tau \]

5.积分变换法（更加普遍的无边界初值解法）

5.1 傅里叶积分变换

热传导方程的泊松公式
考虑一根无限长的均匀细杆，侧面绝热，且温度的分布在同一截面相等，杆的初始温度为\(\varphi(x)\)，则\(t>0\)时杆上温度的分布服从

\[\left\{\begin{matrix} u_{t}=a^2u_{xx}+f(x,t),\quad -\infty<x<+\infty,t>0 \\u|_{t=0}=\varphi(x). \end{matrix}\right. \]

利用傅里叶变换来解答无界区间的解

\[\begin{matrix} U(\omega ,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}u(x,t)e^{-i\omega x}dx \\ G(\omega ,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,t)e^{-i\omega x}dx \\ \phi(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(x)e^{-i\omega x}dx \end{matrix} \]

带入可以得到：

\[\left\{\begin{matrix} \frac{dU(\omega,t)}{dt}=-a^2\omega^2U(\omega,t)+G(\omega,t) \\ U(\omega,t)|{t=0}=\phi(\omega) \end{matrix}\right. \]

根据我们小学二年级就学过的一阶线性非齐次常微分方程初始值问题，很快得到：

\[U(\omega,t)=\phi(\omega)e^{-a^2\omega^2t}+\int_{0}^{t}G(\omega,\tau)e^{-a^2\omega^2(t-\tau)}d\tau \]

由于

\[\mathcal{F}^{-1}[e^{-a^2\omega^2t}]=\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4a^2t}} \]

再根据傅里叶变换二端卷积性质：

\[\begin{matrix} u(x,t)=\mathcal{F}^{-1}[U(\omega,t)]\\ =\frac{1}{2a\sqrt{\pi t}}\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(\xi)e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2t}}d\xi+\frac{1}{2a\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{f(\xi,\tau)}{\sqrt{t-\tau}}e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2(t-\tau)}}d\xi d\tau \end{matrix} \]

这个式子被称为热传导方程的泊松公式

5.2 拉普拉斯积分变换

求解半无线杆的热传导问题

一条半无限长的均匀细杆，端点处的温度为0，杆的初始温度\(u_{0}\)，则温度分布满

\[\left\{\begin{matrix} u_{t}-a^2u_{xx}=0,\quad x>0,t>0 \\ u|_{x=0}=\varphi(t),\lim_{x\to+\infty}u<\infty \\ u|_{t=0}=u_{0},\quad x>0 \end{matrix}\right. \]

利用拉普拉斯变换，令：

\[\begin{matrix} U(x,p)=\int_{0}^{+\infty}u(x,t)e^{-pt}dt \\ \phi(p)=\int_{0}^{+\infty}\varphi(t)e^{-pt}dt \end{matrix} \]

利用拉普拉斯变换的微分性可以得到：

\[\begin{matrix} pU(x,p)-u_{0}-a^2\frac{d^2U(x,p)}{dx^2}=0 \\ U(x,p)|_{x=0}=\phi(p) \end{matrix} \]

通解为：

\[U(x,p)=C_{1}e^{-\frac{\sqrt{px}}{a}}+C_{2}e^{\frac{\sqrt{px}}{a}}+\frac{u_{0}}{p} \]

小小分析一下，\(x\to +\infty\)的时候，\(u(x,t)\)有界，则\(U(x,p)\)也有界，故\(C_{2}=0,C_{1}=\phi(p)-\frac{u_{0}}{p}\)，所以：

\[U(x,p)=[\phi(p)-\frac{u_{0}}{p}]e^{-\frac{\sqrt{px}}{a}}+\frac{u_{0}}{p} \]

查表可得到\(\mathcal{L}^{-1}[\frac{1}{p}e^{-\frac{x}{a}\sqrt{p}}]=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{\frac{x}{2a\sqrt{t}}}^{+\infty}e^{\xi^2}d\xi\)，再利用拉普拉斯的微分性质可以得到：

\[\begin{matrix} \mathcal{L}^{-1}[e^{-\frac{x}{a}\sqrt{p}}]=\mathcal{L}^{-1}[p·\frac{1}{p}e^{-\frac{x}{a}\sqrt{p}}] \\ =\frac{d}{dt}[\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{\frac{x}{2a\sqrt{t}}}^{+\infty}e^{\xi^2}d\xi]=\frac{x}{2a\sqrt{\pi}t^{\frac{3}{2}}}e^{-\frac{x^2}{4a^2t}} \end{matrix} \]

对之前得出来的\(U(x,p)\)进行拉普拉斯逆变换得到：

\[\begin{matrix} u(x,t)=\mathcal{L}^{-1}[\phi(p)e^{-\frac{x}{a}\sqrt{p}}+\frac{u_{0}}{p}e^{-\frac{x}{a}\sqrt{p}}+\frac{u_{0}}{p}] \\ =-\frac{2u_{0}}{\sqrt{\pi}}\int_{\frac{x}{2a\sqrt{t}}}^{+\infty}e^{-\xi^2}d\xi+\frac{x}{2a\sqrt{\pi}}\int_{0}^{t}\varphi(\tau)\frac{1}{(t-\tau)^{3/2}}e^{-\frac{x^2}{4a^2(t-\tau)}}d\tau+u_{0} \end{matrix} \]

6.复变函数的导数

6.1导数定义及求导法则

这里先拍一个类比二元函数的导数定义：

定义：设\(f:D\to C\)是定义在域\(D\)上的函数，\(z_{0}\in D\)，如果极限

\[\lim_{z \to z_{0} }\frac{f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}} \]

存在，就说\(f\)在\(z_{0}\)处复可微或可微，这个极限称为\(f\)在\(z_{0}\)处的导数或微商，记为\(f'(z_{0})\)

特别的，如果\(f\)在\(D\)中每一点都可微，则称\(f\)是域\(D\)中的全纯函数或解析函数，若在\(z_{0}\)的一个领域中全纯，则称\(f\)在\(z_{0}\)处全纯

四则运算以及复合函数的求导法则类比实变函数

6.2 Cauchy-Riemann方程

定理：设\(f:D\to C\)是定义在域\(D\)上的函数，\(z_{0} \in D\)，\(f\)在\(z{0}\)处可微的充要条件是\(f\)在\(z_{0}\)处实可微且\(\frac{\partial f}{\partial \bar{z} }(z_{0})=0\).
在可微的情况下，\(f'(z_{0})=\frac{\partial f}{\partial z}(z_{0})\)

设有复数\(z=x+yi\)，则有

\[\frac{\partial }{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}-i\frac{\partial }{\partial y}) \]

\[\frac{\partial }{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial }{\partial x}+i\frac{\partial }{\partial y}) \]

定理中\(\frac{\partial f}{\partial \bar{z} }(z_{0})=0\)被称为Cauchy-Riemann方程，可以得到\(f\)的实部与虚部应该满足的条件，设\(f=u+iv\)其又等价于

\[\left\{\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \end{matrix}\right. \]

6.3调和函数和Laplace算子

定义：设\(u\)是域\(D\)上的实值函数，如果\(u\in C^2(D)\)，且对任意\(z\in D\)，有

\[\bigtriangleup u(z)=\frac{\partial^2 u(z)}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 u(z)}{\partial y^2} =0 \]

就称\(u\)是\(D\)中的调和函数。$\bigtriangleup =\frac{\partial^2 }{\partial x^2} +\frac{\partial^2 }{\partial y^2} $称为Laplace算子

若\(f=u+iv\)为全纯函数，则其满足Cauchy-Riemann方程，易得\(u,v\)均为调和函数，且其均满足Cauchy-Riemann方程，进一步被称为共轭调和函数

6.4导数的几何意义

设\(f:D\to C\)是定义在域\(D\)上的连续函数，\(z_{0}\in D\)，如果\(f\)在\(z_{0}\)处全纯，且\(f'(z_{0})\ne 0\)
接下来讨论\(f'(z_{0})\)的几何意义

定理：全纯函数在其导数不为零的点处是保角的

即：现在有过\(z_{0}\)的两条曲线\(\gamma_{1},\gamma_{2}\)，分别为

\[z=\gamma_{1}(t),a\le t\le b \]

\[z=\gamma_{2}(t),a\le t\le b \]

且\(\gamma_{1}(a)=\gamma_{2}(a)=z_{0}\)，现在有映射\(w=f(z)\)把他们分别映射为过\(w_{0}\)的两条光滑曲线\(\sigma_{1}\)和\(\sigma_{2}\)

\[w=\sigma_{1}(t)=f(\gamma_{1}(t)),a\le t\le b \]

\[w=\sigma_{2}(t)=f(\gamma_{2}(t)),a\le t\le b \]

易得

\[\sigma'(a)=f'(\gamma(a))\gamma'(a) \]

\[Arg\sigma'(a)=Argf'(a)+Arg\gamma'(a) \]

结合可得

\[Arg\sigma_{2}'(a)-Arg\sigma_{1}'(a)=Arg\gamma_{2}'(a)-Arg\gamma_{1}'(a) \]

接下来再看导数的摸的几何意义，利用刚才定义过的\(\gamma\)曲线，它在映射\(f\)下的像为\(\sigma\)，当\(z\)沿着\(\gamma\)趋于\(z_{0}\)的时候，有

\[\lim_{z \to z_{0}}\frac{\mid f(z)-f(z_{0})\mid}{\mid z-z_{0} \mid}= \lim_{z \to z_{0}}\frac{\mid w-w_{0}\mid}{\mid z-z_{0} \mid}= \mid f'(z_{0}) \mid \]

说明像点之间的距离与原像之间的距离之比只与\(z_{0}\)有关，与曲线\(\gamma\)无关，称\(\mid f'(z_{0}) \mid\)为\(f\)在\(z_{0}\)处的伸缩率

6.5初等全纯函数\解析函数

1.指数函数\((z=x+iy)\)

\[e^z=e^x(\cos y+i\sin y) \]

性质：
（1）\(e^{i\theta}=\cos \theta +i\sin \theta\)
（2）\(e^{z_{1}+z_{2}}=e^{z_{1}}e^{z_{2}}\)
（3）\((e^z)'=e^z\)
（4）\(e^{z+2\pi i}=e^z\)
（5）\(\lim_{z \to \infty}e^z\)不存在

2.对数函数(\(z \ne 0,\infty,e^w=z\))

\[w=Lnz \]

可化为

\[w=Lnz=ln\mid z\mid+iargz+2k\pi i \]

性质：
（1）\(z_{1} \ne 0,z_{2} \ne 0\)

\[Ln(z_{1}z_{2})=Lnz_{1}+Lnz_{2},Ln(\frac{z_{1}}{z_{2}})=Lnz_{1}-Lnz_{2} \]

（2）\((Lnz)'=\frac{1}{z}\)

3.幂函数

\[w=z^\alpha=e^{\alpha Lnz}=e^{\alpha lnz}e^{2k\pi \alpha i} \]

性质：
（1）\((e^\alpha)'=\alpha z^{\alpha -1}\)

4.三角函数和双曲函数

\[\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}，\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} \]

实三角函数的许多性质仍然有效

\[\sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}，\cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} \]

性质：
（1）$ (\cosh z)'=\sinh z,(\sinh z)'=\cosh z $
（2）基本周期为 $ 2 \pi i \( （3）\)\cosh^2 z-\sinh^2z=1\( （4）\)\sinh z=-i\sin iz,\cosh z=\cos iz,\tanh z =-i\tan iz$

5.反三角函数和反双曲函数

\[w=\arcsin z=-iLn(iz \pm \sqrt{1-z^2}) \]

\[w=\arcsin z=-iLn(z \pm \sqrt{z^2-1}) \]

其求导形式与实数相同

\[w=\sinh^{-1} z=Ln(z \pm \sqrt{z^2+1}) \]

\[w=\cosh^{-1} z=Ln(z \pm \sqrt{z^2-1}) \]

7.复变函数的积分

7.1积分的概念

类比实变函数中曲线积分的定义方法，我们可以很快的出
\(f(z)\)在复平面一条光滑曲线\(C\)上的积分

\[\int\limits_{C}^{}f(z)dz=\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} f(\zeta_{k}) \Delta z_{k} \]

7.2积分的计算

类比实变函数中平面的曲线积分，得到

定理：设函数\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在逐段光滑的曲线\(C\)上连续，则\(f(z)\)沿曲线\(C\)的积分存在，且有

\[\int\limits_{C}^{}f(z)dz=\int\limits_{C}^{}u(x,y)dx-v(x,y)dy+i\int\limits_{C}^{}u(x,y)dy+v(x,y)dx \]

基本性质：
设函数\(f(z)\)和\(g(z)\)在逐段光滑曲线\(C\)上连续，则由积分定义可得下列复变函数积分的基本性质
（1）\(\int\limits_{C}^{}kf(z)dz=k\int\limits_{C}^{}f(z)dz\)（k为常数）
（2）\(\int\limits_{C}^{}[f(z) \pm g(z)]dz=\int\limits_{C}^{}f(z)dz \pm \oint_{C}^{}g(z)dz\)
（3）\(\int\limits_{C^-}^{}f(z)dz=-\int\limits_{C}^{}f(z)dz\)（同一曲线但方向相反）
（4）\(\int\limits_{C}^{}f(z)dz=\int\limits_{C_{1}}^{}f(z)dz+\int\limits_{C_{1}}^{}f(z)dz\)
（5）若函数\(f(z)\)在曲线\(C\)上满足\(\mid f(z) \mid \le M\)，且曲线\(C\)的长度为\(L\)，则

\[\mid \int\limits_{C}^{}f(z)dz \mid \le\int\limits_{C}^{}\mid f(z) \mid \mid dz \mid \le ML \]

7.3柯西定理

定理：设函数\(f(z)\)在单联通区域\(D\)内解析，\(C\)为\(D\)内任意一条闭曲线，则

\[\oint_{C} f(z)dz=0 \]

推论：设函数\(f(z)\)在单联通区域\(D\)内解析，则积分\(\oint_{C} f(z)dz\)只与曲线\(C\)的起点和终点有关，而与曲线\(C\)的路径无关

推论：设闭曲线\(C\)是单连通区域\(D\)的边界，函数\(f(z)\)在\(D\)内解析，在\(C\)上连续，则

\[\oint_{C} f(z)dz=0 \]

7.4原函数和不定积分

从柯西定理及其推论可以知道，如果设函数\(f(z)\)在单联通区域\(D\)内解析，则\(f(z)\)沿\(D\)内任何一条逐段光滑曲线\(C\)的积分\(\int \limits_{C} f(z)dz\)的值值域起点终点有关，因而可以定义函数

定理：设\(f(z)\)在单连通区域\(D\)内解析，\(z_{0}\)为\(D\)内一定点，\(z\)为\(D\)内动点，则函数

\[F(z)=\int_{z_{0}}^{z} f(\zeta)d\zeta \]

在\(D\)内解析，且\(F'(z)=f(z)\)

此处定理可以更加一般化，只要将条件改为

定理：设\(f(z)\)在单连通区域\(D\)内连续，且\(f(z)\)在\(D\)内沿任一闭曲线的积分为零

此时我们得到了原函数和不定积分的定义

定义：设函数\(f(z)\)在单连通区域\(D\)内连续。若\(D\)内的一个函数\(\Phi (x)\)满足条件

\[\Phi' (z)=f(z) \]

则称\(\Phi (x)\)为\(f(z)\)在\(D\)内的一个原函数，\(f(z)\)的全体原函数称为\(f(z)\)的不定积分

同理可以将实数域的牛顿-莱布尼茨公式推广到复数域

7.5柯西定理的推广

将柯西定理推广到多连通区域

定理：设\(D\)是由边界曲线\(\Gamma=C+C^{-}_{1}+C^{-}_{2}+\cdots +C^{-}_{n}\)所围成的多连通区域，其中简单闭曲线\(C_{1},C_{2}, \cdots ,C_{n}\)在简单闭曲线\(C\)内，它们互不包含也互不相交，若\(f(z)\)在\(D\)内解析，在\(\Gamma\)上连续，则

\[\oint_{\Gamma}f(z)dz=0 \]

或者

\[\oint_{C}f(z)dz= \oint_{C_{1}}f(z)dz+ \oint_{C_{2}}f(z)dz+\cdots+ \oint_{C{n}}f(z)dz \]

推广一下

\[I=\oint_{C} \frac{1}{(z-z_{0})^{n+1}}dx=\begin{cases} 2 \pi i,n=0 \\ 0,n \ne 0 \end{cases} \]

其中\(C\)为任意包含\(z_{0}\)的正向闭曲线

7.6柯西积分公式和高阶导数公式

定理：设闭曲线\(C\)是单连通区域\(D\)的边界，若函数\(f(z)\)在\(D\)内解析，在\(C\)上连续，则对于\(D\)内任何一点\(z\)，有

\[f(z)=\frac{1}{2 \pi i}\oint_{C}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta \]

由此可以得到柯西积分公式的等价形式

\[\oint_{C}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta=2\pi if(z) \]

此类积分的特点：积分路径为闭曲线，被积函数应形如\(\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}\)，积分路径内只含有一个奇点，且是使被积分函数的分母为零的奇点，且在积分路径上没有被积函数的奇点

定理：设函数\(f(z)\)在闭曲线\(C\)所围成的区域\(D\)内解析，在\(C\)上连续，则函数\(f(z)\)在\(D\)内有各阶导数，它们都是\(D\)内的解析函数，且其n阶导数

\[f^{(n)}(z)=\frac{n!}{2 \pi i}\oint_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta \]

同理有等价形式

\[\oint_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}d\zeta=\frac{2 \pi i}{n!}f^{(n)}(z) \]

7.7柯西定理的一些推论

利用柯西导数公式可以推出柯西定理的逆定理

Morera定理：设\(f(z)\)在单连通区域\(D\)内连续，若对\(D\)内沿任一闭曲线的\(C\)都有

\[\oint_{C} f(z)dz=0 \]

则函数\(f(z)\)在\(D\)内解析

平均值公式：设\(f(z)\)在\(C:\mid z-z_{0} \mid =R\)所围的区域内即系，且在\(C\)上连续，则

\[f(z_{0})=\frac{1}{2 \pi}\int_{0}^{2 \pi} f(z_{0}+Re^{i\theta})d\theta \]

柯西不等式：设\(f(z)\)在\(C:\mid z-z_{0} \mid =R\)所围的区域内即系，且在\(C\)上连续，则

\[\mid f^{(n)}(z_{0})\mid=\frac{n!M}{r^n} \]

其中，n是正整数，M是\(\mid f(z)\mid\)在\(C\)上的最大值

Lioubille定理：设\(f(z)\)在整个复平面解析且有界，则\(f(z)\)在复平面上为常数

最大模定理：设\(D\)为有界单连通或复闭路多连通区域，\(f(z)\)在\(D\)内解析，在\(D\)的边界\(C\)上连续，且\(f(z)\)不恒为常数，则$\mid f(z) \mid \(的最大值必在\)D$的边界上取到

8.解析函数的级数展开

8.1Taylor级数展开

定理：设函数\(f(z)\)在圆域\(D：\mid z-z_{0} \mid <R\)内解析，则在\(D\)内\(f(z)\)可以展开成幂级数

\[f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_{n}(z-z_{0})^n \]

其中n为非负整数，且

\[c_{n}=\frac{1}{2 \pi i}\oint_{C}\frac{f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}dz=\frac{f^{(n)}(z_{0})}{n!} \]

\(c\)为任意圆周\(\mid z-z_{0} \mid =\rho <R\)，并且这个展开式是唯一的

8.2Laurent级数展开

举个例子
考虑函数\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)，观察得其在点\(z=0\)和\(z=1\)的邻域内不能表示成幂级数，但是可以设法将它表示成其他形式的函数项级数，不难得到：$ 0<\mid z \mid <1$的时候，有

\[f(z)=-\frac{1}{z}\cdot \frac{1}{1-z}=-\sum_{n=0}^{+ \infty}z^{n-1},0<\mid z-1 \mid <1 \]

这个级数既含有正幂项又含有负幂项

定义：称既有正幂项又有负幂项的双边幂级数

\[\sum_{n=0}^{+ \infty}c_{n}(z-z_{0})^n+\sum_{n=1}^{+ \infty}c_{-n}(z-z_{0})^{-n} \]

为Laurent级数，如果两幂级数\(\sum_{n=0}^{+ \infty}c_{n}(z-z_{0})^n\)与\(\sum_{n=1}^{+ \infty}c_{-n}(z-z_{0})^{-n}\)都收敛，则称Laurent级数式收敛

定理：设函数\(f(z)\)在圆环域\(r<\mid z-z_{0} \mid <r (r \ge 0,R <+ \infty)\)内解析，则\(f(z)\)在此圆环域内可以唯一地展开为Laurent级数

\[f(z)=\sum_{n=- \infty}^{+ \infty}c_{n}(z-z_{0})^n \]

其中n为整数，且

\[c_{n}=\frac{1}{2 \pi i}\oint_{C}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_{0})^{n+1}}d\zeta \]

\(C\)为在圆环域内绕\(z_{0}\)的任意一条正向简单闭曲线

9.冲激函数和阶跃函数

傅里叶变换的重要性质

\[f(t)\overset{\mathcal{F} }{\rightarrow} F(\omega)\overset{\mathcal{F} }{\rightarrow} 2\pi f(-t) \]

9.1冲激函数

9.1.1定义

定义：连续变量\(t\)在\(t=0\)点处的冲激函数\(\delta(t)\)定义为

\[\delta(t)=\begin{cases}\infty,t=0\\0,t \ne 0\end{cases} \]

满足等式

\[\int_{- \infty}^{\infty} \delta(t)dt=1 \]

9.1.2冲激函数的取样特性

显然

\[\int_{- \infty}^{\infty}f(t)\delta(t-t_{0})dt=f(t_{0}) \]

9.1.3冲激函数的傅里叶变换及其逆变换的应用

\[F(\omega)=\int_{- \infty}^{\infty} \delta(t-t_{0})e^{-i \omega t}dt=e^{-i \omega t_{0}} \]

根据傅里叶变换的性质可以得到
对\(F(\omega)\)进行傅里叶逆变换可以得到

\[f(t)=\delta(t-t_{0})=\frac{1}{2\pi}\int_{- \infty}^{\infty}e^{-i \omega t_{0}}e^{i \omega t}d\omega \]

如何利用上面这个等式？举一个三角函数傅里叶变换的例子

\[\begin{matrix} \mathcal{F}(\sin (\omega_{0}t))=\int_{- \infty}^{\infty}\sin (\omega_{0}t) \cdot e^{-i \omega t}dt\\ \mathcal{F}(\sin (\omega_{0}t))=\int_{- \infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega_{0}t}-e^{-i\omega_{0}t}}{2} \cdot e^{-i \omega t}dt\\ \mathcal{F}(\sin (\omega_{0}t))=\frac{1}{2}\int_{- \infty}^{\infty} e^{i(\omega_{0}-\omega)t}-e^{i(-\omega_{0}-\omega)t} dt\\ \mathcal{F}(\sin (\omega_{0}t))=\pi(\delta(\omega_{0}-\omega)-\delta(\omega_{0}+\omega))\end{matrix} \]

9.2阶跃函数

9.2.1定义

\(u(t)=\begin{cases}0,t<0\\1,t \ge 0\end{cases}\)

易得\(u'(t)=\delta(t)\)

4.2.2阶跃函数的傅里叶变换

现在定义一个辅助函数\(f(t)=\begin{cases}0,t<0\\e^{-at},t \ge 0\end{cases}\)

易得\(\lim_{a \to 0^+}f(t)=u(t)\)

\[\mathcal{F}(f(t))=\int_{0}^{+ \infty}e^{-at}e^{-i\omega t}dt=\frac{1}{a+i\omega} \]

那么

\[\mathcal{F}(u(t))=\lim_{a \to 0^+}\mathcal{F}(f(t))=\lim_{a \to 0^+}\frac{1}{a+i\omega}=\lim_{a \to 0^+}\frac{a-i\omega}{a^2+\omega^2} \]

仅考虑实部部分

\[\lim_{a \to 0^+}\frac{a}{a^2+\omega^2}=\begin{cases}0,\omega \ne 0\\\infty,\omega = 0\end{cases}=C\delta(\omega) \]

接下来只需要确定\(C\)即可，根据\(\delta(\omega)\)的性质可以得到

\[C\int_{- \infty}^{\infty}\delta(\omega)d\omega=C=\pi \]

虚部极限

\[\lim_{a \to 0^+}-\frac{i\omega}{a^2+\omega^2}=\frac{1}{i\omega} \]

因此，阶跃函数的傅里叶变换有

\[\mathcal{F}(u)=\pi \delta(\omega)+\frac{1}{i\omega} \]

9.2.3阶跃函数的一些性质

通过傅里叶逆变换可以很快得到

\[u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_{0}^{+ \infty}\frac{\sin \omega t}{\omega} d\omega(t \ne0) \]

由此还可以推出几个有用的积分

\[\int_{0}^{+ \infty}e^{-i\omega t}dt=\pi \delta(\omega)+\frac{1}{i\omega} \]

\[\int_{0}^{+ \infty}e^{-(\beta+i\omega)t}dt=\frac{1}{\beta+i\omega}(\beta>0) \]

10.留数与傅里叶变换

关于Laurent展开：对函数进行Laurent展开常见的方法是利用简单初等函数的Taylor级数或Laurent级数展开，以及幂级数的运算来求较复杂函数的Laurent级数展开式
例如：\(\frac{1}{1-z}，e^z\)，三角函数的Taylor展开

之前有提及这个积分：

\[I=\oint_{C}\frac{1}{(z-z_{0})^{n+1}}dz=\begin{cases} 2\pi i,n=0\\ 0 n\ne 0\end{cases} \]

其中\(C\)是以\(z_{0}\)为中心、\(r\)为半径的正向圆周，\(n\)是整数

因此对于这个积分\(\oint_{\mid z \mid =\frac{1}{3}}e^{\frac{1}{z}}dz\)，利用Laurent展开可以得到

\[\oint_{\mid z \mid =\frac{1}{3}}e^{\frac{1}{z}}dz=\oint_{\mid z \mid =\frac{1}{3}}[1+\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+\cdots +\frac{1}{n!z^n}+ \cdots ]dz \]

考虑到上述积分的结论，积分\(\oint_{\mid z \mid =\frac{1}{3}}e^{\frac{1}{z}}dz=2\pi i *c_{-1}\)
其中\(c_{-1}\)是Laurent展开中-1次项的系数

10.1留数的定义

设函数$ f(z) \(在\) 0<\mid z-z_{0} \mid < R \(内解析，点\) z_{0} \(为\) f(z) \(的一个孤立奇点，\)C\(是任意正向圆周，即\) C：\mid z-z_{0} \mid = \rho <R $，则积分

\[\frac{1}{2 \pi i}\oint_{C}f(z)dz \]

的值称为\(f(z)\)在点\(z_{0}\)处的留数，记为\(Res[f(z),z_{0}]\)

再根据上面我们举的例子可以很快得出下述定理

定理：设点\(z_{0}\)为\(f(z)\)的一个孤立奇点，则\(f(z)\)在点\(z_{0}\)处的留数为\(f(z)\)在\(z_{0}\)处Laurent展开式负幂项\((z-z_{0})^{-1}\)系数\(c_{-1}\)，即

\[Res[f(z),z_{0}]=c_{-1} \]

对于无穷远处的留数可以定义

\[Res[f(z),\infty]=\frac{1}{2 \pi i}\oint_{C^{-}}f(z)dz=-c_{-1} \]

10.2留数的计算

几个定理：

定理1.设\(z_{0}\)为\(f(z)\)在复平面上的可去极点，则\(Res[f(z),z_{0}]=0\)
定理2.设\(z=z_{0}\)为\(f(z)\)在复平面上的\(m\)阶极点，则

\[Res[f(z),z_{0}]=\frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_{0}}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_{0})^mf(z)] \]

定理3.若\(z_{0}\)为\(f(z)\)的一阶极点，则

\[Res[f(z),z_{0}]=\lim_{z \to z_{0}}(z-z_{0})f(z) \]

定理4.设\(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}\)，其中\(P(z)，Q(z)\)在\(z_{0}\)处解析，如果\(P(z_{0}) \ne 0，Q(z_{0}) = 0，Q'(z_{0}) \ne 0\)，则\(z_{0}\)是\(f(z)\)的一阶极点，且

\[Res[f(z),z_{0}]=\frac{P(z_{0})}{Q'(z_{0})} \]

定理5.设\(z= \infty\)是函数\(f(z)\)的孤立奇点，则存在充分大的\(R>0\)，使得函数\(f(z)\)的孤立奇点，则

\[Res[f(z),\infty]=-Res[\frac{1}{z^2}f(\frac{1}{z}),0] \]

定理5.设\(z= \infty\)是函数\(f(z)\)的孤立奇点，若\(\lim_{z \to \infty}zf(z)=A\)，则

\[Res[f(z),z_{0}]=-A \]

留数定理

设\(C\)为一条正向简单闭曲线，若函数\(f(z)\)在\(C\)上连续，在\(C\)所围的区域\(D\)内出去有限个奇点\(z_{1}，z_{2}，\cdots ，z_{n}\)外均解析，则

\[\oint_{C}f(z)dz=2\pi i \sum_{k=1}^{n}Res[f(z),z_{k}] \]

第二留数定理

若函数\(f(z)\)在扩充复平面上除有限个孤立奇点\(z_{1}，z_{2}，\cdots ，z_{n}，\infty\)外是解析的，则\(f(z)\)在所有孤立奇点处的留数之和为0，即

\[\sum_{k=1}^{n}Res[f(z),z_{k}]+Res[f(z),\infty]=0 \]

10.3留数在一些定积分计算中的应用

10.3.1 形如\(\int_{0}^{2\pi}R(\cos \theta,\sin \theta)d\theta\)的积分

\[\int_{0}^{2\pi}R(\cos \theta,\sin \theta)d\theta =\oint_{C}f(z)dz=2\pi i\sum_{k=1}^{n}Res[f(z),z_{k}] \]

10.3.2 形如\(\int_{- \infty}^{+ \infty}\frac{P(x)}{Q(x)}dx\)的积分

定理：设\(P(x)，Q(x)\)为多项式，方程\(Q(x)=0\)无实根，且\(Q(x)\)的次数比\(P(x)\)的次数至少高两次，\(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}\)，则

\[\int_{- \infty}^{+ \infty}\frac{P(x)}{Q(x)}dx=2\pi i \sum_{k=1}^{n} Res[f(z),z_{k}] \]

10.3.2 形如\(\int_{- \infty}^{+ \infty}f(x)e^{i \lambda x}dx\)的积分

Jordan引理：设\(c\)为圆周\(\mid z \mid =R\)的上半圆周，函数\(f(z)\)在\(c\)上连续，且

\[\lim_{z \to \infty}f(z)=0 \]

则

\[\lim_{\mid z \mid =R \to +\infty} \int_{C}f(z)e^{i \lambda z}dz=0.(\lambda >0) \]

定理：设\(P(x)，Q(x)\)为多项式，方程\(Q(x)=0\)无实根，且\(Q(x)\)的次数比\(P(x)\)的次数至少高两次，\(f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}\)，则

\[\int_{- \infty}^{+ \infty}\frac{P(x)}{Q(x)}e^{i \lambda x}dx=2\pi i \sum_{k=1}^{n} Res[f(z)e^{i \lambda z},z_{k}] \]

其中\(z_{k}\)是上半圆周的所有孤立奇点

11.保形映射

为什么你交数理方法不学留数（期末复习月已崩溃2024.12.22留）

先来看一下复平面上的导数是个什么东东
根据我们已经学过的导数的内容，可以依葫芦画瓢地得到复平面的导数

设有函数\(w=f(z)\)在区域\(D\)内解析，\(z_{0}\)为\(D\)内一点，且\(f'(z_{0}) \ne 0\)
\(\Delta z=z-z_{0}=|\Delta z|e^{i\theta} \quad \Delta w=w-w_{0}=|\Delta w|e^{i\varphi}\)

\[f'(z_{0})=\lim_{\Delta z \to 0}\frac{\Delta z}{\Delta w}=\lim_{\Delta z \to 0}|\frac{\Delta z}{\Delta w}|e^{i(\varphi -\theta)} \]

而\(\Delta z\)和\(\Delta w\)又是原像和像的弧长的增量，则\(|f'(z_{0})|\)表示了伸缩率
可以看到伸缩率只与映射\(f\)和\(z_{0}\)有关
文章之前也介绍过\(f\)的保角性

定理11.1：设设有函数\(w=f(z)\)在区域\(D\)内解析，\(z_{0}\)为\(D\)内一点，且\(f'(z_{0}) \ne 0\)，则有

1. 伸缩率不变性：即通过点\(z_{0}\)的任何一条曲线的伸缩率均为\(|f'(z_{0})|\)，而与其形状和方向无关。
2. 保角性：即通过点\(z_{0}\)的两条曲线间的夹角与经过映射后所得两曲线的夹角在大小和方向上保持不变。

定义11.1（第一类保角映射）：设函数\(w=f(z)\)定义在点\(z_{0}\)的邻域内，若它在\(z_{0}\)点具有保角性和伸缩率不变性，则称\(w=f(z)\)在\(z_{0}\)处为保角。若\(w=f(z)\)在区域\(D\)内的每一点都是保角的，则称\(w=f(z)\)是区域\(D\)内的保角映射

若仅仅保持夹角大小不变，但方向相反，则该保角映射称为第二类保角映射

定义11.2（单叶映射）：若对区域\(D\)内的任意不同两点\(z_{1} \ne z_{2}\)，都有\(f(z_{1}) \ne f(z_{2})\)，则称\(w=f(z)\)是\(D\)内的单叶映射。
定义11.3（保形映射）：若\(w=f(z)\)在区域\(D\)内是单叶的保角映射，则称\(w=f(z)\)是\(D\)内的保形映射（或共形映射）

定理11.2：若\(w=f(z)\)在区域\(D\)内解析，\(z_{0}\)为区域\(D\)内一点

1. 若\(f'(z_{0}) \ne 0\)，则\(w=f(z)\)子啊\(z_{0}\)处是保角的。
2. 若\(w=f(z)\)在\(D\)内是单叶的，则\(w=f(z)\)将区域\(D\)保形映射为区域\(G={w|w=f(z),\ z \in D}\)，且它的反函数\(z=f^{-1}(w)\)在\(G\)内是单叶的解析函数

定理11.2：若函数\(w=f(z)\)把区域\(D\)保形映射成区域\(G\)，则\(w=f(z)\)在\(D\)是单值且解析的函数，其导数在\(D\)上必不为零，且其反函数\(z=g(w)\)在\(G\)上叶是单值且解析的函数，它把\(G\)保形映射成\(D\)

定理11.3（黎曼定理）：设有两个单连通区域\(D\)和\(G\)（它们的边界至少包含两点），\(z_{0}\)和\(w_{0}\)分别是\(D\)和\(G\)中的任意两点，\(\theta_{0}\)是任一实数\((0\le \theta \le 2\pi)\)，则总存在一个函数\(w=f(z)\)，它把\(D\)一一对应地保角映射成\(G\)，\(s.t. \ f(z_{0})=w_{0},\ argf'(z_{0})=\theta _{0}\)并且这样的保形映射是唯一的

条件\(f(z_{0})=w_{0},\ argf'(z_{0})=\theta _{0}\)保证了函数的唯一性

定理11.4（边界对应原理）：设有两个单连通区域\(D\)和\(G\)的边界分别为简单闭曲线\(C\)和\(\Gamma\)。若能找到一个在\(D\)内解析、在\(C\)上连续的函数，它将\(C\)一一对应地映射到\(\Gamma\)，且当原像点\(z\)和像点\(w\)在边界上绕行方向一致时，\(D\)和\(G\)在边界的同一侧，则\(w=f(z)\)将\(D\)一一对应地保形映射成\(G\)。

11.1.分式线性映射

1.平移映射：\(w=z+b\)，且\(|w-b|=|z|,\ w'=1 \ne 0\)
2.相似映射：\(w=az,\ a\ne 0\)
3.反演映射：\(w=\frac{1}{z}\)
定义11.4：设有圆周\(C：|z-a|=R\)，若有两点\(z_{1}\)和\(z_{2}\)均在同一条始于圆心\(a\)的涉嫌，并满足\(|z_{1}-a||z_{2}-a|=R^2\)，则称点\(z_{1}\)与\(z_{2}\)关于圆周\(C\)对称，或称\(z_{1}\)与\(z_{2}\)是关于圆周\(C\)的对称点，同时规定：无穷远点\(\infty\)与圆心\(a\)是关于圆周\(C\)的对称点

分式线性映射的一般形式（莫比乌斯映射）：

\[w=\frac{az+b}{cz+d} \quad (ad-bc \ne 0) \]

1. 分式线性映射的逆映射也是一个分式线性映射
2. \(c \ne 0\)时，在点\(z=-\frac{d}{c}\)处规定\(w=\infty\)；在\(z=\infty\)处，规定\(w=\frac{a}{c}\)；当\(c=0\)是，在点\(z=\infty\)处规定\(z=\infty\)
3. 两曲线在点\(z=\infty\)处的夹角\(\alpha\)，是指在反演映射下，此两曲线的像曲线在原点处的夹角
4. 在扩充复平面上，将直线视为过无穷远点的圆周

定理11.5：分式线性映射是扩充复平面上的保形映射
（证明整式映射和反演映射是扩充复平面上的保形映射即可）
定理11.6：分式线性映射将扩充复平面（\(Z\)平面）上的圆周一一对应地保角映射成扩充复平面（\(W\)平面）上的圆周，即具有保圆性
定理11.7：若分式线性映射将圆周\(C\)映射成圆周\(\Gamma\)，则它将关于\(C\)对称的点\(z_{1}\)和\(z_{2}\)的映射成关于\(\Gamma\)对称的点\(w_{1}\)和\(w_{2}\)

定义11.5（交比）：扩充复平面上4个有序的相异的点\(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}\)

\[(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})=\frac{z_{4}-z_{1}}{z_{4}-z_{2}}:\frac{z_{3}-z_{1}}{z_{3}-z_{2}} \]

特别的

\[(\infty ,z_{2},z_{3},z_{4})=\frac{1}{z_{4}-z_{2}}:\frac{1}{z_{3}-z_{2}} \]

定理11.8：在分式线性映射下，四点的交比不变

在处理边界由两个圆弧（或直线段）围成的区域的分式线性映射中：

1. 当两圆弧上没有点映射成无穷远点时，这两圆弧所围成的区域映射成两圆弧所围成的区域
2. 当两圆弧上有一个点映射成无穷远点时，这两圆弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域
3. 当两圆弧交点中的一个映射成无穷远点时，这两圆周的弧所围成的区域映射成角形区域

11.2几个典型的分式线性映射

11.2.1把上半平面映射成上半平面的分式线性映射

设分式线段映射\(w=f(z)=\frac{az+b}{cz+d}(ad-bc \ne 0)\)将上半平面映射成上半平面，由边界对应原理，有：

1. 将实轴映射成实轴，且保持实轴的正向不变
2. 在实轴上任一点处的转角为0

可以得到：\(a,b,c,d\)必全为实数（或全为纯虚数）且：

\[arg \ w'=0,或 \frac{dw}{dz}=\frac{ad-bc}{(cz+d)^2} >0 \]

11.2.2把上半平面映射成单位圆内部的分式线性映射

根据分式线性映射的保圆性，实轴\(Im(z)=0\)映射到圆周\(|w|=1\)
在上半平面存在一点\(z_{0}\)映射到\(w=0\)，对应的，\(\bar{z_{0}}\)映射到\(w=\infty\)
因此此类分式线性映射的形式：

\[w=e^{i\theta}\frac{z-z_{0}}{z-\bar{z_{0}}},\ (\theta \in \mathbb{R}，Im(z_{0})>0) \]

11.2.3把单位圆内部映射成单位圆内部的分式线性映射

若单位圆内一点\(z_{0}\)映射到\(w=0\)，则对应的\(\frac{1}{\bar{z_{0}}}\)映射到\(w=\infty\)
在边界上有\(|z|=1\)时\(|w|=1\)
因此有：

\[w=e^{i\theta}\frac{z-z_{0}}{1-\bar{z_{0}}z},\ \theta \in \mathbb{R}，|z_{0}|<1 \]

11.3几个初等函数构成的映射

11.3.1幂函数/根式函数

幂函数\(w=z^n(n \ge 2)\)
角形区域：顶点在\(z=0\)（确保保角性），张角不超过\(\frac{2\pi}{n}\)（确保单叶性）
\(w=z^n\)在此角形区域（不包含原点）是保形映射
如果设\(z=re^{i\theta},w=\rho e^{i\varphi}\)则\(\rho =r^n,\varphi =n\theta\)

同理根式函数\(w=\sqrt[n]{z}\)将角形区域的张角缩小

幂函数和根式函数用于把角形域映射成角形域

11.3.2指数函数/对数函数

指数函数\(w=e^z\)，显然导数处处不为0，因此是全平面上的保形映射
不妨令\(z=x+iy,w=\rho e^{i\varphi}\)，则\(\rho =e^x,\varphi =y\)
表明指数函数将带状区域映射到角形区域
其中带状区域的高度映射成角形区域的张角，因此\(Im(y)\)的“高度”应该小于$ 2 \pi i\( 特别的，\)-\infty<x<0$映射到一个单位圆内部

对应的，对数函数\(w=lnz\)（某一单值分支）
能够将$|z|=r,0 \le arg \ z<2\pi $ 映射成直线段 $ Re\ w=ln\ r,2k\pi \le Im \ w<2(k+1)\pi$

11.3.3 * 儒可夫斯基函数

称函数

\[w=\frac{1}{2}(z+\frac{1}{z}) \]

为儒可夫斯基函数

他的一个重要性质是：把单位圆的外部 $ |z|>1 $ 映射成去掉线段 $ -1 \le Re \ w \le 1,Im \ w =0 $ 的区域

推导：设\(z=re^{i\theta}\)，\(w=\frac{1}{2}[(r+\frac{1}{r})\cos \theta+(r-\frac{1}{r})\sin \theta]\)
令\(a=\frac{1}{2}(r+\frac{1}{r}),\ b=\frac{1}{2}(r-\frac{1}{r})\)
则\(w=x+iy\)，满足

\[\left\{\begin{matrix} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \\ a^2-b^2=1 \end{matrix}\right. \]

其中\(r>1\)，则\(b>0\)，因此椭圆族的集合为\(\{ \mathbb{C} \setminus Re(z) \in [-1,1] \cup Im(z)=0 \}\)

11.3.4 应用：求解二维调和方程边值问题

问题: 求一个二元实变函数, 使其在已知区域中调和, 并且在区域的边界上满足已知条件

解决方法：

1. 对子简单区域可从某些熟知的解析函数直接求解
2. 对于复杂区域可通过一适当的共形变换将其变为简单区域, 再求解

定理：如果\(\varphi (x,y)\)是拉普拉斯方程\(\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0\)的解，那么当\(\varphi (x,y)\)由一共形变换变成一个关于\(u,v\)的函数，这个函数也满足拉普拉斯方程：

\[\frac{\partial^2 \varphi}{\partial u^2}+ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial v^2}=0 \]

12.特征线以及二阶线性偏微分方程的分类

对于一般的含有两个自变量的二阶线性偏微分方程：

\[Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_x+Eu_y+Fu=f(x,y) \]

其中\(A,B,C,D,E,F\)均为自变量\(x,y\)的函数，且二阶项系数\(A,B,C\)不同时为0，则次方程的特征方程定义为：

\[A(dy)^2-2Bdxdy+C(dx)^2=0 \]

此特征方程的解即为上述二阶线性偏微分方程的特征线
利用特征线对方程进行分类，令\(\Delta=B^2-AC\)

1. 若\(\Delta <0\)则方程为椭圆型方程
2. 若\(\Delta =0\)则方程为抛物型方程
3. 若\(\Delta >0\)则方程为双曲型方程

用特征线法解二阶线性偏微分方程可见# 此处