高斯消元

高斯-约旦消元

解线性方程组

例题：线性方程组

步骤:

1. 选出未被更新的行中第 \(k\) 列绝对值最大的值，令为主元

2. 把主元所在行移到当前行，加减消元消去主元

3. 重复12

4. 结束后若存在找不到主元（找到是0） 的情况，那就遍历没处理的行，如果有常数项非 \(0\) 则无解，否则无数解

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double eps=1e-9;
double A[55][55];
int n;

bool eq(double x,double y){
    return fabs(x-y)<eps;
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) 
        for(int j=0;j<=n;j++)
            cin>>A[i][j];
    int nl=0;
    for(int k=0;k<n;k++){
        int I=nl;
        for (int i=nl+1;i<n;i++){
            if(fabs(A[i][k])>fabs(A[I][k])) I=i;
        }
        if(eq(A[I][k],0)) {continue;}
        for(int j=0;j<=n;j++) swap(A[nl][j],A[I][j]);
        for(int i=0;i<n;i++){
            if(i==nl) continue;
            double mul=A[i][k]/A[nl][k];
            for(int j=k;j<=n;j++){
                A[i][j]-=mul*A[nl][j];
            }
        }
        nl++;
    }
    if(nl<n){
        while(nl<n)
            if(!eq(A[nl++][n],0))
                {cout<<-1;return 0;}// 无解-1
        cout<<0;
    }
    else {
        for(int i=0;i<n;i++){
			printf("x%d=%.2lf\n",i+1,A[i][n]/A[i][i]);
        }
    }
}

计算矩阵逆

把一个单位矩阵拼在给出矩阵后面，高斯约旦消元后再额外将结果的对角线化1，则此时原先单位矩阵位置就是逆矩阵

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod=1e9+7;
const  double eps=1e-9;
int A[405][805];
int n;

bool eq(int x,int y){
    return abs(x-y)<eps;
}

int qpow(int x,int k){
	int ans=1;
	while(k){
		if(k&1) ans=ans*x%mod;
		x=x*x%mod;
		k>>=1;
	}
	return ans%mod;
}

signed main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) 
        for(int j=0;j<n;j++)
            cin>>A[i][j];
    for(int i=0;i<n;i++){
            A[i][i+n]=1;
    }
    int nl=0;
    for(int k=0;k<n;k++){
        int I=nl;
        for (int i=nl+1;i<n;i++){
            if(abs(A[i][k])>abs(A[I][k])) I=i;
        }
        if(eq(A[I][k],0)) {cout<<"No Solution\n";return 0;}
        swap(A[nl],A[I]);
        int kk=qpow(A[nl][k],mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++){
            if(i==nl) continue;
            int mul=A[i][k]*kk%mod;
            for(int j=k;j<n*2;j++){
                A[i][j]=(mod+A[i][j]-mul*A[nl][j]%mod)%mod;
            }
        }
        for(int j=0;j<2*n;j++){
            A[nl][j]=(A[nl][j]*kk)%mod;
        }
        nl++;
    }
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=n;j<n*2;j++)cout<<(A[i][j]+mod)%mod<<" ";
        cout<<"\n";
    }
} 

计算行列式

这玩意真的还是高斯消元吗...

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=605;
int mod,OK=1;;
int A[N][N];
int n;
int det_calc(int a[N][N],int n){
    for(int i=0;i<n;i++){
        for(int j=i+1;j<n;j++){
            while(a[i][i]){
                int K=a[j][i]/a[i][i];
                for(int k=i;k<n;k++){
                    ((a[j][k]-=K*a[i][k]%mod)+=mod)%=mod;
                }
                swap(a[i],a[j]);OK*=-1;
            }swap(a[i] ,a[j]),OK*=-1;
        }
    }
    int ans=1;  
    for(int i=0;i<n;i++) ans*=a[i][i],ans%=mod;
    ans=ans*OK+mod;ans%=mod;
    return ans ;
}

signed main(){
    cin>>n>>mod;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            cin>>A[i][j];
        
    cout<<det_calc(A,n);
}