从数论函数到莫比乌斯反演

如果各位有印象的话我之前的数学大礼包说要写莫反，虽然我退役风险仍然很大但我撅腚写一下

本文的数未经说明都是整数

艾佛森括号

\([A]\) 其中 \(A\) 是一个命题，这个东西表示的是命题 \(A\) 的真假，真为 \(1\)，假为 \(0\)

也有一个意思是 \([x]=1(x>0),[x]=0(x=0)\)

数论函数

定义域和值域为整数的函数

类似于一般的函数，数论函数也有一些奇奇怪怪的运算

狄利克雷卷积

定义两个数论函数 \(f(n)\) 和 \(g(n)\)

将他们两个的狄利克雷卷积写作 \(\large{f*g}\)

这个玩意依然是一个函数，

定义为:\(\large{(f*g)(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(n/d)}\)

显而易见的狄利克雷卷积有交换律和结合律

几个典型的数论函数:

\(I(n)\) 无论 \(n\) 为几都为 \(1\)

\(id^x(n)=n^x\)

\(e(n)\)， \(n=1\) 为 \(1\) 否则 \(0\)，被称为元函数

这三个都是完全积性函数，即满足 \(f(ab)=f(a)f(b)\)

积性函数

上面三个是完全积性函数，积性函数是啥？

依然是 \(f(ab)=f(a)f(b)\)，但是这次有要求，要求 \(gcd(a,b)=1\) ，也就是互质

典型例子有 \(\varphi(n)\) 欧拉函数，定义为小于n的整数中,与n互质的数的个数

\(\mu(n)\)，一个非常牛逼的东西

1. \(F(1)=1\)，依据定义 \(F(1)=F(1)F(1)\)，而全零的函数应用没啥价值， 于是可以认为 \(F(1)=1\)

2. 两个积性函数的狄利克雷卷积还是积性函数

设 \(\large G(n)=F_1(n)*F_2(n)\)

设 \(gcd(a,b)=1\)

则 \(G(a)G(b)=\sum_{d|a}\sum_{t|b} F_1(d)F_2(a/d) F_1(t)F_2(b/t)\)

简单思考一下约数集合的合并，我们可以合并求和符号

\(=\sum_{dt|ab} F_1(dt)F_2(ab/dt)=G(ab)\)

3. 两个积性函数的逆也是积性函数

定义 \(F\) 的逆为 \(F*G=e\)，但是处于一个偷懒的态度，证明略去，待补

此处待补证明

莫比乌斯函数和莫比乌斯反演

偷个图

定义为 \(I\) 的逆，可以从这个定义推出上面的式子但是略

• 反演公式

  • 嵌入式莫反

    由于 \(\mu * I = e\)，则 \(\sum_{d|n} \mu(d)=[n=1]\)

    我们稍微集中一下注意力 \([n|m][n/m=1]\)

    则 \([n|m]\sum_{d|n/m} \mu(d)=[n=m]\)

  • 还有两个待补