GZOI-NOI2026人大附集训（一）

T1 概率论(probability)

本来想怎么优化状态，但实际上有用的状态数有限，我们做的不像是优化反而像是压缩。

每个时刻，有用的状态只有剩余的数中，相邻两个数之间的数的个数。这相当于把 \(n\) 划分成 \(a_i\)，满足 \(\sum a_i = n\)，状态数就是 \(\prod a_i\)。

那显然 \(\prod a_i \leq 3^{\frac{n}{3}}\)，能通过。

T2 最小费用(cost)

相当于给每个要求匹配一个树上节点，使得答案最小。一个节点上可能有多个要求。

考虑每个要求显然优先匹配子树外面的节点，当多个子树的时候我们可以轮换匹配。

则对于 \(u\) 的儿子 \(v\)，\(v\) 的子树内的要求中，可以选出 \(siz_u - siz_v\) 替换掉其他子树的匹配。

相当于执行这样一个操作，自底向上，维护一个队列，每次 \(u\) 合并的时候，每个 \(v\) pop 掉前 \(siz_u - siz_v\) 个元素，然后与 \(u\) 合并。

T3 三元环(loop)

我们可以把 \(1\) 不停操作，直到所有 \(1\) 在一条线上，那么这条线的图案就可以作为代表元，表示当前所有能遍历到的状态。

一个 \(1\) 操作之后每个位置的相当于 \(\binom {n}{m} \bmod 2\)。

\[\binom{n}{m} \bmod 2 = [n\subseteq m] \]