异或线性基

前言

本篇博客中，使用 \(|S|\) 表示集合 \(S\) 的大小，\(\oplus\) 表示异或运算，\(\bigoplus\limits_{i=l}^{r}a_i\) 表示 \(a_l \oplus a_{l + 1} \oplus a_{l + 2} \oplus ... \oplus a_r\)。

概念

线性基

称线性空间 \(V\) 的一个极大线性无关组为 \(V\) 的一组 Hamel 基 或 线性基，简称 基。

规定线性空间 \(\{\theta\}\) 的基为空集。

另外，将 \(V\) 的 维数 记作 \(\dim V\), 定义为基的元素个数。

简单来说，如果能够通过一个向量集合 \(V_1\) 内的向量的加减乘除表示出另一个向量集合 \(V_2\) 中的所有向量，则称大小最小的 \(V_1\) 为 \(V_2\) 的线性基。

但此处我们要讲解的线性基不是这个线性基，但他的性质和这个线性基相似。

异或线性基

异或线性基才是本篇博客涉及的线性基。

一个二进制数集 \(S\) 的异或线性基是最小的二进制数集 \(S_0\)，满足\(S\) 中任意一个二进制数都可以表示成若干个 \(S_0\) 中二进制数的异或和（不选异或和为 \(0\)）。

性质

显而易见，数集 \(S\) 的线性基 \(S_0\) 满足以下性质：

1. 对于任意若干个 \(S\) 中的数的异或和，都可以表示成若干个 \(S_0\) 中的数的异或和。

2. 不存在任意 \(k\)（\(k > 0\)）个 \(S_0\) 中的数的异或和为 \(0\)。

3. \(S_0\) 中任意不同选择方案选择出的数的异或和都不相同，或者说，总共有 \(2^{|S_0|} - 1\) 个不同的 \(S_0\) 中若干个数的异或和。

操作

一般线性基是动态维护的，我们需要动态维护 \(S\) 集合的线性基 \(S_0\)，支持在线插入查询。

插入

插入操作是将一个二进制数 \(k\) 插入 \(S\) 后，更新线性基 \(S_0\)。

若 \(k\) 可以被线性基 \(S_0\) 表示出，那么 \(S\) 插入 \(k\) 之后，\(S_0\) 不会有任何变化。

若 \(k\) 不可以被线性基 \(S_0\) 表示出，则我们需要在 \(S_0\) 中新增一个数 \(k_0\)，满足存在一个 \(J \in S_0\)，使得

\[k_0 \oplus \bigoplus\limits_{j\in J} j = k \]

你可能会想到，为什么不直接让 \(k_0 = k\)？

显然可以，但是如果这样插入，判断 \(k\) 是否可以被 \(S_0\) 表示出时则需要更多时间，我们现在需要寻找一个更好的方法使得判断和插入时间复杂度平衡。

我们重新考虑。

如果线性基 \(S_0\) 内有一个数某一位为 \(1\)，那么在不考虑其他位的情况下，我们一定可以选择出多个数让他们的异或和在这一位为 \(0\)，或者 \(1\)（当 \(|S_0| > 1\) 时）。

对于任意 \(s \in S_0\)，由于其二进制下最高位 \(i\)（最高为 \(1\) 的位）之后更高位没有数字，所以我们可以在不改变更高位的情况下，通过选择或者取消选择更改最终异或和的第 \(i\) 位。

对于一个位 \(i\)，如果线性基中有且仅有一个最高位为第 \(i\) 位的数，那么我们想要在不更改更高位的情况下修改第 \(i\) 位，只能选择（或者取消选择）这个数。

所以，如果我们让线性基中任意两个数的最高位都不同（这是显然可以做到），我们就可以快速的判断是否可以表示出 \(k\) 了。

于是新增一条线性基的性质：

4. 线性基 \(S_0\) 中任意两个数的最高位都不相等。

方法如下：

如果我们可以在 \(S_0\) 中选择出一些数，使得他们的异或和 \(a\)，满足 \(a \oplus k = 0\)，那么就代表 \(k\) 可以被表示出。

从上往下遍历，假设当前遍历到第 \(i\) 位，当前选择的数异或和为 \(a\)：

若 \(k \oplus a\) 第 \(i\) 位为 \(0\)，则我们不需要操作。

若 \(k \oplus a\) 第 \(i\) 位为 \(1\)，此时需要判断是否存在最高位为第 \(i\) 位的数 \(b\)。

若存在，则选择上 \(b\)，即将 \(a\) 更改为 \(a ^ b\)。

若不存在，则代表该位无法在不更改更高位的情况下清零，也就是 \(k\) 无法被 \(S_0\) 中的数表示出。

有了上面判断方法后，我们来思考如何插入。

插入时我们需要满足：线性基中任意两个数的最高位的位置都不同。

判断的过程中，当遍历到第 \(i\) 位时，\(a \oplus k\) 的更高位实际上已经全部为 \(0\) 了。当我们发现不存在最高位为第 \(i\) 位的数的时候，\(a \oplus k\) 恰好满足上面的要求。

直接将当前的 \(a \oplus k\) 丢入 \(S_0\)。

查询

查询操作一般用于快速计算集合 \(S\) 中所有任意若干个数的异或和的 \(k\) 小值。

方便起见，我们将线性基 \(S_0\) 中的数由大到小排序，用 \(a_1, a_2, ..., a_{|s_0|}\) 表示。

对于每个 \(i\)，我们设 \(b_i\) 代表 \(a_i\) 最高位位数。

由于线性基的性质一，集合 \(S\) 中任意若干个数的异或和构成的集合等于 \(S_0\) 中任意若干个数的异或和构成的集合。

1. 对于任意若干个 \(S\) 中的数的异或和，都可以表示成若干个 \(S_0\) 中的数的异或和。

所以只需要求出 \(S_0\) 中所有任意若干个数的异或和的 \(k\) 小值即是答案。

线性基的性质三可以帮助我们快速计算 \(k\) 小值。

3. \(S_0\) 中任意不同选择方案选择出的数的异或和都不相同，或者说，总共有 \(2^{|S_0|} - 1\) 个不同的 \(S_0\) 中若干个数的异或和。

首先考虑整个线性基中的最高位最高的数 \(a_1\)，因为其他数都无法更改第 \(b_1\) 位的数字，所以如果选择了 \(a_1\)，则代表最终异或和第 \(b_1\) 位为 \(1\)。

因为线性基满足前面的性质，所以选择了 \(a_1\) 和不选择 \(a_1\) 各有 \(2^{|S_0| - 1}\) 个选择，而选择了 \(a_1\) 会使最终异或和更大，即让异或和的排名增加了 \(2^{|S_0| - 1}\) 名。

如果 \(k > 2^{|S_0| - 1}\)，我们就选择 \(a_1\)，反之不选。

通过这个方法，我们可以从高处往下遍历，求得答案。

更特殊地，如果当前判断是否选择的数为 \(a_i\)，已经决定了最终异或和 \(A\) 的第 \(b_i\) 位的更高位，在未决定的位置的排名为 \(k\)。

此时，因为选择 \(a_i\) 只影响 \(A\) 第 \(b_i\) 位之下的位，选择 \(a_j(j>i)\) 不会影响第 \(b_i\) 位。所以最终答案第 \(b_i\) 位被 \(A\) 决定。

此时，如果 \(k > 2^{|S_0 - i|}\)，我们就使 \(A ^ a_i\) 第 \(b_i\) 位为 \(1\)，反之同理。

从 \(1\) 到 \(|S_0|\) 对所有 \(i\) 按顺序进行如上操作，最终的 \(A\) 就是答案。