网络流及其算法

前言

本博客包括较多网络流算法，但其中可能有些错误，可以在评论区指正。

还有些未完善，因为我没太多时间写。

我们在此使用 \(E\) 来表示一个图的边集，\(V\) 来表示一个图的点集，\(F\) 来表示一个图的最大流流量，定义符号 \(|S|\) 表示集合 \(S\) 的大小，\((u,v)\) 表示从 \(u\) 直接连向 \(v\) 的一条单向边。

概念

流：一个抽象概念，流可以从一个点出发，通过单向边（即弧）前往另一个点。
弧：一条有向边，可以单向通过流，可以有一个费用，代表每单位的流通过时消耗的费用。
弧的流量：实际通过这条弧的流量。
弧的容量：指的是一条弧的最大流量，流过弧的流量不可以超过弧的容量。
弧的残留容量：指弧还能容纳的流量，即弧的容量减弧当前流量。
弧的单位费用：指一条弧每单位流通过时消耗的费用。
弧的费用：一条弧的费用指弧的流量乘以弧的单位费用。
饱和弧：流量等于容量的弧，即无法增加流量的弧。
零流弧：流量为 \(0\) 的弧。
流网络：一个由弧和点组成的图，其中存在一个点入度为 \(0\)，称作源点，一个点出度为 \(0\)，称作汇点。
源点：发出流的一个点，拥有无限的流，一般用 \(s\) 表示。源点入度为 \(0\)，出度大于 \(0\)。
汇点：接收流的一个点，一般用 \(t\) 表示。源点出度为 \(0\)，入度大于 \(0\)。
网络流：流网络中所有弧上流量的集合。
费用流：流网络中每条弧都有一个费用的情况下，所有弧的流量与费用的集合。
零流：每条弧的流量都为零的网络流。
可行流：当前流网络能够达成的网络流。
最大流：流网络中流量最大的可行流。
最小费用最大流：流网络中弧的费用和最小的最大流。
残留网络：由弧和点组成的一个图，其中每条弧容量为当前网络流中对应弧的残留容量，每条弧有一个反向弧，其容量为原弧在当前流网络中的的流量。
增广路径：残留网络中，从源点 \(s\) 到汇点 \(t\) 的一条可以有流量的路径。
链：流网络中由若干弧连接成的路径，不一定要求所有弧同向。
前向弧：一条链上和 \(u \to v\) 方向相同的边，是这个链的一条前向弧。
后向弧：一条链上和 \(u \to v\) 方向相反的边，是这个链的一条后向弧。
割：在流网络中，如果存在一组弧，使得删除这一组弧后，原图从 \(s\) 开始无法走向 \(t\)，则成这组边为原图的一个割。
最小割：单向图中，权值和最小的割。
可行弧：也称允许弧，当 \((i, j)\) 为一个可行弧时，\((i,j)\) 面向汇点。（在最大流某些算法中会有提到）

性质

• 最小割边权和 = 最大流流量

最大流 - FF算法

算法复杂度

时间复杂度 \(O((|E|+|V|)F)\)

空间复杂度 \(O(|E|+|V|)\)

算法思想

一个比较暴力的思想。

即每次寻找一条增广路径，然后流入流量。不断重复这个过程，直到无法找到增广路径。

每次从 \(s\) 开始 \(dfs\)，只往残留容量大于 \(0\) 的点走，一旦 \(dfs\) 到 \(t\)，立马从 \(s\) 引出这条路径可以接受的最大流量经过路径到 \(t\)。

但是这样的算法是部分错误的。

如图，每条边的容量皆为 \(1\)，\(1\) 为源点，\(4\) 为汇点。

若第一次找到了 \(1 \to 2 \to 3 \to 4\) 这条增广路径，这时 \((1,2),(2,3),(3,4)\) 三条弧的残留容量为 \(0\)。
第二次 \(dfs\) 就无法找到增广路径了，于是计算出来的最大流流量为 \(1\)。

但实际上，如果我们走 \(1 \to 2 \to 4\) 和 \(1 \to 3 \to 4\) 这两条增广路径，可以得出正确的最大流流量 \(2\)。

那这个算法不就出错了吗？或者说，如何改进？

我们可以为每个弧增加反向弧，原弧残留容量每减一，就给反向弧残留容量加一。

这样，相当于给算法反悔的机会。

再模拟一遍，第一次找到了 \(1 \to 2 \to 3 \to 4\)，\((1,2),(2,3),(3,4)\) 三条弧的残留容量为 \(0\)。\((4,3),(3,2),(2,1)\) 三条弧的残留容量为 \(1\)。
第二次就可以找到 \(1 \to 3 \to 2 \to 4\)，于是计算出来的最大流流量为 \(2\)。

算法正确性得到了保证。

算法流程

使用 bfs 寻找增广路直到无法找到，每次流入增广路所能容纳最大流量。结束时就是最大流。

算法伪代码

暂无

EK算法

算法复杂度

时间复杂度 \(O(|V||E|^2)\)

算法思想

虽然 \(FF\) 算法的正确性有保证，但是如果最大流流量 \(F\) 过大，\(FF\) 算法的时间复杂度会爆炸。

使得其时间爆炸的还是同一张图：

若 \((2,3),(3,2)\) 两条弧容量为 \(1\)，其余四弧容量为 \(2147483647\)。

\(FF\) 算法会先找到 \(1 \to 2 \to 3 \to 4\) 增广路径，发现这条增广路径只能通过 \(1\) 流量的流。
然后 \((1,2),(3,4)\) 的残留容量变成了 \(2147483646\)。\((2,3)\) 残留容量变成了 \(0\)，\((3, 2)\) 残留容量变成了 \(1\)。
\(FF\) 算法继续寻找增广路径，它找到 \(1 \to 3 \to 2 \to 4\)，再次发现只能通过 \(1\) 流量的流。
然后 \((1,3),(2,4)\) 的残留容量变成了 \(2147483646\)。\((3,2)\) 残留容量变成了 \(0\)，\((2, 3)\) 残留容量变成了 \(1\)。

...

如此往复，我们发现 \(FF\) 算法寻找了 \(2^{32} - 1\) 次增广路径，最终计算出了最大流。

这显然毫无疑问 \(TLE\) 了。于是 \(FF\) 算法的改进版 \(EK\) 算法应运而生。

\(EK\) 算法只是做了一个小改变：它将 \(FF\) 算法的 \(dfs\) 改成了 \(bfs\)，这样便不会绕远路了。

每次寻找最短路，第一次寻找到的就是 \(1 \to 2 \to 4\)。

算法流程

\(EK\) 算法使用 \(bfs\) 寻找增广路径，对于每条找到的增广路径，使用和 \(FF\) 算法一样的方法，从源点 \(s\) 顺着增广路径流入最大流量的流。

算法伪代码

暂无

Dinic 算法

算法复杂度

时间复杂度 \(O(|V|^2|E|)\)

空间复杂度 \(O(|V|+|E|)\)

算法思想

\(EK\) 算法问世之后，\(Dinitz\) 大佬觉得还不够快，于是再次改进得到了 \(Dinic\) 算法。

\(Dinic\) 算法使用和 \(FF\) 算法相同的 \(dfs\) 寻找增广路径，但是在每次寻找增广路径前， \(Dinic\) 先跑一遍 \(bfs\)，用于标记到源点 \(s\) 的最短距离。

在 \(dfs\) 过程中，每个点只尝试往更远的点推进流，于是速度又再次提升。

算法流程

先使用 \(bfs\) 来标记每个点到 \(s\) 的最短距离。

然后 \(dfs\)，\(dfs\) 过程中每个点只尝试往离源点距离更远的点遍历。最终如果能 \(dfs\) 到 汇点 \(t\)，则代表存在增广路径，流入流。

接下来，重新 \(bfs\) 标记距离，反复执行以上操作，直到无增广路径。

算法伪代码

暂无

算法优化

\(Dinic\) 算法又有几个优化可以学习：

当前弧优化：开一个数组记录每个节点访问到第几条弧，下次经过节点时就可跳过满流的弧，访问下一个弧，不需要再判断前面的弧是否满流。

多路增广：在某点 \(dfs\) 找到增广路后，如果还剩下多余的流量未用，可以继续在该点 \(dfs\) 尝试找到更多增广路。

爆点：寻找增广路线过程中，如果当前节点的所有出弧都满流了，那么这个节点就不再使用了。具体操作就是，存储层数的数据把这个节点的层数标记为负数。

预流推进算法

算法复杂度

时间复杂度 \(O()\)

空间复杂度 \(O(|V| + |E|)\)

算法思想

预流推进算法中，每个节点可以储存流，而存有流的节点称为活动节点。

而源点 \(s\) 一直都是活动节点，汇点 \(t\) 一直不是活动节点。

预流推进算法通过一直对活动节点推流，最终求出最大流。

算法流程

预流推进算法每次选择一个活动节点，尝试对其进行推流，即将这个节点储存的流推向其他节点。

当没有活动节点（除源点）时，算法结束，汇点的流就是最大流。

但是以上算法也有部分问题，若两个点之间来回推流，容易导致超时。

我们可以给每个点高度，规定流只能从高往低处流，平地也可以流。

每次推流时将被推流的点高度增加。

这样当两个点不停推流时，会有一刻高度超过旁边的点，于是流会被推到另一个点。

算法伪代码

暂无

HLPP算法

算法复杂度

时间复杂度： \(O(|V|^2\sqrt{|E|})\)

空间复杂度： \(O(|V| + |E|)\)

算法思想

HLPP 算法，也称最高标号预留推进算法。

预留推进我们会了，但最高标号是什么？

在预留推进算法前进行一次汇点 \(t\) 开始的 \(bfs\)，计算每个点到 \(t\) 的最短路长度 \(dis\)，我们每次推流选择离 \(t\) 最远的，并且只往低处推。

若出现一个活动节点所有的边都满流了，则将这个活动节点抬升高度，这样就可以让多余的流被推回去。

算法流程

从汇点开始 \(bfs\)，计算出每个点到 \(t\) 的最短距离 \(dis\)。（和 \(dinic\) 相似）
首先将与 \(s\) 相连的边设为满流，并将这时产生的活动结点加入优先队列 \(Q\)。（\(Q\) 中以 \(dis\) 排序）
重复以下过程直到 \(Q\) 为空：

1. 选出 \(Q\) 最上方的活动结点 \(u\)，并依次判断残留网络中每条边 \((u,v)\)，若 \(dis_u = dis_v + 1\)，则顺着这些边推流，直到 \(Q\) 变成非活动结点。

2. 若 \(u\) 在往所有相邻的点 \(v\) 推流后还是活动结点。则需要对 \(u\) 进行重新标号：\(dis_u = \min\limits_{(u,v)\in G'}(dis_v + 1)\)。（\(G'\) 为残留网络）然后再将 \(u\) 加入队列。

SAP算法

\(SAP\)，全称 \(Shortest~Augment~Path\)，最短增广路径算法。

由于网上资料太少，而且真实性存疑，所以。。。这算法不学也罢（

算法复杂度

？？

算法思想

？？

算法流程

？？

算法伪代码

？？

ISAP算法

算法复杂度

时间复杂度 \(O(|V|^2|E|)\)

空间复杂度 \(O(|V| + |E|)\)

算法思想

\(ISAP\) 算法，全称 \(Improved~Shortest~Augment~Path\)，即改进的最短增广路径算法。

\(ISAP\) 算法是 \(Dinic\) 算法的另一种优化版本，\(Dinic\) 算法每次跑 \(dfs\) 前需要一次 \(bfs\) 来标记序号，而 \(ISAP\) 算法通过直接修改标号，不 \(bfs\) 来降低时间复杂度。

算法流程

与 \(Dinic\) 算法不太相同的是，\(d_u\) 代表到汇点 \(t\) 的最短距离。

\(ISAP\) 算法在开始前需要初始化出每个点的最短距离 \(d_u\)。

1. 使用 \(dfs\) 寻找一个增广路径，使得路径上的点的 \(d\) 值单调递减且相邻的差为 \(1\)。

2. 往增广路径中流入流。

3. 枚举增广路径上所有点，若有点 \(u\) 满足 \((\forall v\in G, (u,v)\in E)(d_v\not=d_u+1)\)（其中，\(G'\) 为残留网络），则需要更改这个节点的最短距离，\(d_u = \min\limits_{(u,v)\in G'}\{d_v + 1\}\)。特殊地，若残留网络上 \(u\) 无出边，则 \(d_u = n\)。

当不存在增广路径时，算法结束。或者说，当 \(d_s >= n\) 时，算法结束。

算法优化

当前弧优化：在 \(Dinic\) 算法中讲过了，这里不讲了。

GAP优化：因为寻找的增广路径上的节点 \(d\) 值序列必然是 \(\{1,2,3,4,5,...\}\)，所以当某一个距离标号不存在时（称之为断层），就没有最短路径了，我们可以提前将算法结束。

MPM 算法

算法时间复杂度

费用流算法

SSP算法

该算法每次尝试寻找源点 \(s\) 到汇点 \(t\) 单位费用最小的增广路径，并流入可行的最大流。

所以只需要将 \(EK\) 算法的 \(bfs\) 更改为寻找最短路的 \(SPFA\) 即可。

此算法在计算有负环的流网络时会出现错误，需要运用消圈算法来消去负环。

ZKW算法

网络流应用及各类题型