定积分

定积分的定义

定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点$$a=x_0<x_1<x_2<...x_{n-1}<x_n=b,$$
把区间[a,b]分成n个小区间$$[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n],$$
各个小区间得长度依次为$$\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,...,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}.$$
\(在每个小区间[x_{i-1},x_i]上任取一点\xi_i(x_{i-1}\le\xi_i\le x_i),作函数值f(\xi_i)与小区间长度\Delta x_i得乘积f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2,...,n),并作出和\)

\[S=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i. \]

\(记\lambda=max\{\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n\},如果当\lambda \to 0时，这和得极限总存在，且与闭区间[a,b]\)
\(的分法及点\xi的取法无关，那么称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分(简称积分)，记作\int_a^b f(x)dx,即\)

\[\int_a^b f(x)dx=I=lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i, \]

其中f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间.

定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积.
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积.

定积分的性质

常数倍性质
\(\int_{a}^{b} kf(x)\,dx = k\int_{a}^{b} f(x)\,dx\)
加减性质
\(\int_{a}^{b}\big[f(x)\pm g(x)\big]dx =\int_{a}^{b}f(x)dx\pm\int_{a}^{b}g(x)dx\)
区间可加性
\(\int_{a}^{b}f(x)dx =\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)
上下限交换
\(\int_{a}^{b}f(x)dx =-\int_{b}^{a}f(x)dx\)
上下限相同
\(\int_{a}^{a}f(x)dx=0\)
常数积分
\(\int_{a}^{b} C\,dx = C(b-a)\)
保号性
若在 \([a,b]\) 上 \(f(x)\ge 0\)，则
\(\int_{a}^{b}f(x)dx\ge 0\)
比较定理
若 \(f(x)\ge g(x)\)，则\(\int_{a}^{b}f(x)dx\ge \int_{a}^{b}g(x)dx\)
估值不等式
\(m(b-a)\le \int_{a}^{b}f(x)dx\le M(b-a)\)
积分中值定理
\(\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b-a),\quad \xi\in[a,b]\)
绝对值不等式
\(\left|\,\int_{a}^{b}f(x)dx\,\right| \le \int_{a}^{b}\big|f(x)\big|dx\)
偶函数对称区间
\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)
奇函数对称区间
\(\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\)

微积分基本公式

变上限积分求导定理（原函数存在定理）
若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则变上限积分 \(\Phi(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\) 在 \([a,b]\) 上可导，且
\(\Phi'(x)=\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)

微积分基本公式（牛顿-莱布尼茨公式）
若 \(F(x)\) 是 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的一个原函数，即 \(F'(x)=f(x)\)，则
\(\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=\left.F(x)\right|_{a}^{b}\)

上限为函数的变限积分求导
\(\frac{d}{dx}\int_{a}^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)\)

上下限均为函数的变限积分求导
\(\frac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)}f(t)dt=f(\varphi(x))\cdot\varphi'(x)-f(\psi(x))\cdot\psi'(x)\)

定积分的换元法和分部积分法

与不定积分类似，不过换元必换限，分部积分要带入上下限.

反常积分

一、反常积分的概念
定积分要求：积分区间有限 + 被积函数有界
不满足这两条的积分，称为反常积分（广义积分）
二、两类反常积分

1. 无穷限反常积分（区间无限）
   上限无穷
   \(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx =\lim\limits_{b\to+\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)
   下限无穷
   \(\int_{-\infty}^{b}f(x)dx =\lim\limits_{a\to-\infty}\int_{a}^{b}f(x)dx\)
   双无穷
   \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx =\int_{-\infty}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{+\infty}f(x)dx\)
   极限存在，则称反常积分收敛；否则发散

2. 无界函数反常积分（瑕积分）
   点 x=c 处函数无界，称 c 为瑕点
   上限为瑕点
   \(\int_{a}^{b}f(x)dx =\lim\limits_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{a}^{b-\varepsilon}f(x)dx\)
   下限为瑕点
   \(\int_{a}^{b}f(x)dx =\lim\limits_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{a+\varepsilon}^{b}f(x)dx\)
   瑕点在区间内部
   \(\int_{a}^{b}f(x)dx =\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\)
   右边极限存在，则收敛；否则发散

p积分(反常积分审敛标准)

\(\int_a^{+\infty} \frac{1}{x^p}dx(a>0),p>1收敛，p\le1发散\)
\(\int_0^1 \frac{1}{x^p}dx(a>0),p\ge1收敛，0<p<1发散\)