不定积分

原函数与不定积分的概念

定义1 \(如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为f(x)，即对任意x\in I，都有\)

\[F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx， \]

\(那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的一个原函数\)
原函数存在定理 \(如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一x\in I都有\)
\(F'(x)=f(x).\)
也就是：连续函数一定有原函数.

定义2 \(在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的不定积分，记作\)

\[\int f(x)dx. \]

\(其中记号\int 称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量.\)

\[\int f(x)dx=F(x)+C \]

补充积分表

\(\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|+C\)
\(\int \cot x\,dx = \ln|\sin x|+C\)
\(\int \sec x\,dx = \ln|\sec x+\tan x|+C\)
\(\int \csc x\,dx = \ln|\csc x-\cot x|+C\)
\(\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin\frac{x}{a}+C\)
\(\int\frac{1}{a^2+x^2}\,dx = \frac1a\arctan\frac{x}{a}+C\)
\(\int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,dx = \ln\big|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\big|+C\)

性质

性质1 \(设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则\)

\[\int[f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx/ \]

性质2 \(设函数f(x)的原函数存在，k为非零常数，则\)

\[\int kf(x)dx=k\int f(x)dx. \]

换元积分法

第一类换元法

定理1 \(设f(u)具有原函数，u=\phi(x)可导，则有换元公式\)

\[\int f[\phi(x)]\phi'(x)dx=[\int f(u)du]_{u=\phi(x)} \]

第二类换元法

定理2 \(设x=\psi(t)是单调的可导函数，并且\psi'(t)\neq0.又设f[\psi(t)]\psi'(t)具有原函数，则有换元公式\)

\[\int f(x)dx=[\int f[\psi(t)]\psi'(t)dt]_{t=\psi^{-1}(x)} \]

\(其中\psi^{-1}(x)是x=\psi(t)的反函数.\)

分部积分法

\[\int udv=uv-\int vdu. \]