微分中值定理

微分中值定理

费马引理

\(若f(x)在x_0处可导且取极值，则f'(x_0)=0\)

罗尔定理

条件：

• f(x)在[a,b]连续
• f(x)在(a,b)可导
• f(a)=f(b)

结论：\(\exists\xi\in(a,b),f'(\xi)=0\)
用途：证明有一点导数为0、方程有根、存在性证明

拉格朗日中值定理

条件：

• f(x)在[a,b]连续
• f(x)在(a,b)可导

结论：f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)
用途：不等式证明、函数增量估计、证明函数单调性与有界性

柯西中值定理

条件：

• f,F在[a,b]连续，(a,b)可导
• F'(x)$\neq$0

结论：\(\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}\)
用途：证明分式型中值等式、证明两个函数的关系、推导洛必达法则的理论基础

泰勒公式

\(泰勒中值定理1，如果函数f(x)在x_0处具有n阶导数，那么存在x_0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有\)

\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x), \]

其中

\[R_n(x)=o((x-x_0)^n) \]

\(R_n(x)\)表达式称为佩亚诺余项

\(泰勒中值定理2，如果函数f(x)在x_0的某个邻域内U(x_0)内具有n+1阶导数，那么对任一x\in U(x_0)，有\)

\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x), \]

其中

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}， \]

这里\(\xi是x_0与x之间的某个值。\)
\(R_n(x)\)表达式称为拉格朗日余项

在上面两个泰勒公式中，如果取\(x_0=0\)，那么泰勒公式将变成较简单形式，即麦克劳林公式

常用的麦克劳林公式

\(e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\)
\(\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})\)
\(\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})\)
\(\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)\)
\(\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n)\)
\((1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\)