微分中值定理与导数的应用
微分中值定理
费马引理
\(若f(x)在x_0处可导且取极值，则f'(x_0)=0\)
罗尔定理
条件：
- f(x)在[a,b]连续
- f(x)在(a,b)可导
- f(a)=f(b)
结论：\(\exists\xi\in(a,b),f'(\xi)=0\)
用途：证明有一点导数为0、方程有根、存在性证明
拉格朗日中值定理
条件：
- f(x)在[a,b]连续
- f(x)在(a,b)可导
结论：\(f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)\)
用途：不等式证明、函数增量估计、证明函数单调性与有界性
柯西中值定理
条件：
- f,F在[a,b]连续，(a,b)可导
- F'(x)$\neq$0
结论：\(\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}\)
用途：证明分式型中值等式、证明两个函数的关系、推导洛必达法则的理论基础
洛必达法则
定理1 设
(1)\(当x\to a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；\)
(2)\(在点a的某去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq 0;\)
(3)\(\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在（或为无穷大），\)
则
定理2 设
(1)\(当x\to \infty时，函数f(x)及F(x)都趋于零；\)
(2)\(当|x|>N时，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)\neq 0;\)
(3)\(\lim_{x\to \infty}\frac{f'(x)}{F'(x)}存在（或为无穷大），\)
则
泰勒公式
\(泰勒中值定理1，如果函数f(x)在x_0处具有n阶导数，那么存在x_0的一个邻域，对于该邻域内的任一x，有\)
其中
\(R_n(x)\)表达式称为佩亚诺余项
\(泰勒中值定理2，如果函数f(x)在x_0的某个邻域内U(x_0)内具有n+1阶导数，那么对任一x\in U(x_0)，有\)
其中
这里\(\xi是x_0与x之间的某个值。\)
\(R_n(x)\)表达式称为拉格朗日余项
在上面两个泰勒公式中，如果取\(x_0=0\)，那么泰勒公式将变成较简单形式，即麦克劳林公式
常用的麦克劳林公式
\(e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\)
\(\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1})\)
\(\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n})\)
\(\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)\)
\(\frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n)\)
\((1+x)^\alpha = 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\)
导数的应用
函数的单调性
设函数 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内可导。
- 若 \(\forall x\in(a,b),\ f'(x)>0\)，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上严格单调增加；
- 若 \(\forall x\in(a,b),\ f'(x)<0\)，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上严格单调减少。
判定步骤：
- 求定义域；
- 求 \(f'(x)\)，找出驻点 \(f'(x)=0\) 及不可导点；
- 划分区间，判断 \(f'(x)\) 符号；
- 确定单调区间。
曲线的凹凸性与拐点
设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，在 \((a,b)\) 内二阶可导。
- 若 \(\forall x\in(a,b),\ f''(x)>0\)，则曲线 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上是凹的（\(\cup\)）；
- 若 \(\forall x\in(a,b),\ f''(x)<0\)，则曲线 \(y=f(x)\) 在 \([a,b]\) 上是凸的（\(\cap\)）。
拐点：
连续曲线上凹凸性发生改变的点 \((x_0,f(x_0))\)。
判定：
- \(f''(x_0)=0\) 或 \(f''(x_0)\) 不存在；
- \(f''(x)\) 在 \(x_0\) 两侧变号。
函数的极值
必要条件：
设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，且在 \(x_0\) 取极值，则 \(f'(x_0)=0\)。
第一充分条件：
\(f(x)\) 在 \(U(x_0)\) 内连续，去心邻域可导：
- \(x<x_0\) 时 \(f'(x)>0\)，\(x>x_0\) 时 \(f'(x)<0\implies f(x_0)\) 极大值；
- \(x<x_0\) 时 \(f'(x)<0\)，\(x>x_0\) 时 \(f'(x)>0\implies f(x_0)\) 极小值。
第二充分条件：
\(f'(x_0)=0,\ f''(x_0)\) 存在：
- \(f''(x_0)<0\implies\) 极大值；
- \(f''(x_0)>0\implies\) 极小值。
函数的最大值与最小值
求 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上最值步骤：
- 求 \((a,b)\) 内驻点与不可导点 \(x_1,x_2,\dots,x_n\)；
- 计算
- 比较大小，最大为最大值，最小为最小值。
单侧区间/开区间：
若只有唯一极值，则该极值就是区间上的最值。
浙公网安备 33010602011771号