导数

导数的定义

设函数 y=f(x) 在点 x0​ 的某邻域内有定义，若极限
\(\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
存在，则称 f(x) 在点 x0​ 处可导，并称此极限为 f(x) 在 x0​ 处的导数，记作：
\(f'(x_0), y'|_{x=x_0}, \frac{dy}{dx}|_{x=x_0}\)
也常写成：
\(f'(x_0)=\lim_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
导数描述的是：函数在这一点的瞬时变化快慢
几何意义：\(f'(x_0​) 是曲线 y=f(x) 在点 (x_0​,f(x_0​)) 处的切线斜率\)

常用导数公式

幂函数

\((x^n)'=nx^{n-1}\)

三角函数

\((\sin x)'=\cos x\)
\((\cos x)'=-\sin x\)
\((\tan x)'=\sec^2 x\)
\((\cot x)'=-\csc^2 x\)
\((\sec x)'=\sec x\tan x\)
\((\csc x)'=-\csc x\cot x\)

指数与对数

\((e^x)'=e^x\)
\((a^x)'=a^x\ln a\)
\((\ln x)'=\frac{1}{x}\)
\((\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\)

反三角函数

\(\def\arccot{\operatorname{arccot}}\)
\((\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\)
\((\arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}\)

双曲函数

\((sh x)'=ch x\)
\((ch x)'=sh x\)
\((th x)'=\frac{1}{ch^2 x}\)
\((arsh x)'=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\)
\((arch x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\)
\((arth x)'=\frac{1}{1-x^2}\)

求导运算法则

和差法则：\((u \pm v)' = u' \pm v'\)
乘积法则：\((uv)' = u'v + uv'\)
商法则：\(\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \ (v \neq 0)\)
常数倍法则：\((Cu)' = Cu' \ (C \text{为常数})\)
复合函数链式法则：\([f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
反函数求导法则：\((f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \ (f'(f^{-1}(x)) \neq 0)\)

常用的高阶导数

指数函数高阶导数：\((e^x)^{(n)} = e^x\)
正弦函数高阶导数：\((\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)\)
余弦函数高阶导数：\((\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)\)
自然对数高阶导数：\((\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n}\)

微分

定义

\(设函数y=f(x)在某区间内有定义，x_0及x_0+\Delta x在这区间内，如果函数的增量\)

\[\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) \]

可表示为$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$$，
\(其中A是不依赖于\Delta x的常数，那么称函数y=f(x)在点x_0是可微的，而A\Delta x叫做函数y=f(x)在点x_0相应于自变量增量\Delta x的微分，记作dy，即\)

\[dy=A\Delta x \]

当\(f(x)在点x_0可微时，其微分一定是dy=f'(x_0)\Delta x\)

几何意义

局部用切线段近似代替曲线段，在数学上称为非线性函数的局部线性化。