常用导数公式

幂函数

\((x^n)'=nx^{n-1}\)

三角函数

\((\sin x)'=\cos x\)
\((\cos x)'=-\sin x\)
\((\tan x)'=\sec^2 x\)
\((\cot x)'=-\csc^2 x\)
\((\sec x)'=\sec x\tan x\)
\((\csc x)'=-\csc x\cot x\)

指数与对数

\((e^x)'=e^x\)
\((a^x)'=a^x\ln a\)
\((\ln x)'=\frac{1}{x}\)
\((\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}\)

反三角函数

\(\def\arccot{\operatorname{arccot}}\)
\((\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\((\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\)
\((\arccot x)'=-\frac{1}{1+x^2}\)

求导运算法则

和差法则：\((u \pm v)' = u' \pm v'\)
乘积法则：\((uv)' = u'v + uv'\)
商法则：\(\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \ (v \neq 0)\)
常数倍法则：\((Cu)' = Cu' \ (C \text{为常数})\)
复合函数链式法则：\([f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
反函数求导法则：\((f^{-1}(x))' = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \ (f'(f^{-1}(x)) \neq 0)\)

常用的高阶导数

指数函数高阶导数：\((e^x)^{(n)} = e^x\)
正弦函数高阶导数：\((\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)\)
余弦函数高阶导数：\((\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)\)
自然对数高阶导数：\((\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{x^n}\)