函数、极限、连续

极限运算法则

定理1 两个无穷小的和是无穷小（有限个无穷小之和也是无穷小）
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小
推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小
定理3 \(如果lim\,f(x)=A,lim\,g(x)=B,那么\)
(1)\(lim[f(x)\pm g(x)]=lim\,f(x)\pm lim\,g(x)=A\pm B;\)
(2)\(lim[f(x)\cdot g(x)]=lim\,f(x)\cdot lim\,g(x)=A\cdot B;\)
(3)\(若又有B\neq 0，则lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{lim\,f(x)}{lim\,g(x)}=\frac{A}{B}\)

两个重要极限

\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
\(\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e\)

常见的等价无穷小

========== 核心 ==========
\(\sin x \sim x\)
\(\tan x \sim x\)
\(\arcsin x \sim x\)
\(\arctan x \sim x\)
\(1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)
\(\ln(1 + x) \sim x\)
\(e^x - 1 \sim x\)
\(a^x - 1 \sim x\ln a \ (a>0,a\neq1)\)

========== 拓展 ==========
\((1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x \ (\alpha \in \mathbb{R})\)
\(\sqrt[n]{1+x} - 1 \sim \frac{1}{n}x\)
\(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x} \sim x\)
\(\log_a(1 + x) \sim \frac{x}{\ln a} \ (a>0,a\neq1)\)
\(\tan x - \sin x \sim \frac{1}{2}x^3\)
\(x - \sin x \sim \frac{1}{6}x^3\)
\(\tan x - x \sim \frac{1}{3}x^3\)
\(x-\ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2\)
\(\arcsin x - x \sim \frac{1}{6}x^3\)
\(x - \arctan x \sim \frac{1}{3}x^3\)