对数公式

对数公式

1. 定义
   \(\log_a b = c \iff a^c = b\)

2. 三大运算
   \(\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N\)
   \(\log_a\frac{M}{N} = \log_a M - \log_a N\)
   \(\log_a M^k = k\log_a M\)

3. 换底公式
   \(\log_ab = \frac{\ln b}{\ln a}\)

4. 常用特殊值
   \(\log_aa = 1,\quad \log_a1 = 0\)

当a=e时，\(\log_ab可写为\ln b\)

换底公式推导过程

\(设x=\log_ab,则a^x=b\)
\(对两边同时取以c为底的对数得\\ \log_ca^x=\log_cb\)
\(\implies x\log_ca=\log_cb\)
\(\implies x=\frac{\log_cb}{\log_ca}=\log_ab\)