同调代数笔记5

在前文我们讨论了模上的\(\text{Ext}\)函子和\(\text{Tor}\)函子，在交换群上也可以构造类似的导出函子。但同调代数不仅限于此，更重要的是它可以推广到阿贝尔范畴上。

可加范畴
任取\(A,B\in \text{obj}(\mathcal{C})\)，如果\(\text{Hom}(A, B)\)是交换群且\(\text{Hom}\)的复合满足双线性，那么称\(\mathcal{C}\)是预可加范畴。具体的说就是态射上定义了加法运算，并且加法运算满足以下4个条件：

存在零态射\(0_{AB} \in \text{Hom}(A, B)\)
对于任意\(f,g \in \text{Hom}(A, B)\)，都有\(f + g = g + f\)
对于任意\(f \in \text{Hom}(A, B)\)，存在\(-f\in \text{Hom}(A, B)\)满足\(-f + f = 0_{AB}\)
对于任意\(f,f_1,f_2 \in \text{Hom}(A, B), g,g_1,g_2 \in \text{Hom}(B, C)\)，都有\(g \circ (f_1 + f_2) = g \circ f_1 + g \circ f_2\)以及\((g_1 + g_2) \circ f= g_1 \circ f + g_2 \circ f\)

预可加范畴的积和余积不一定保持态射的加法运算。当积与余积一致（即为双积）时，预可加范畴的积与余积保持态射的加法，此时称其为可加范畴。

核与余核
正合列是同调代数的核心概念，它要求上一个映射的像恰好是下一个态射的核。然而在一般范畴中没有像与核的概念，这要求我们在可加范畴中增加更多结构。

一个态射\(f\in \text{Hom}(X, Y)\)的核\(k: K \to X\)是满足以下泛性质的对象：

\(f\circ k = 0_{KY}\)。
对任意\(k':K' \to X\)满足\(f\circ k' = 0_{K'Y}\)，都有唯一的态射\(u: K' \to K\)。

\(f\)的余核\(q: Y \to Q\)是满足以下泛性质的对象：

\(q\circ f = 0_{XQ}\)。
对任意\(q':Y \to Q'\)满足\(q'\circ f = 0_{XQ'}\)，都有唯一的态射\(v: Q \to Q'\)。

核\(k:K\to X\)与余核\(q:Y \to Q\)满足以下性质：

\(K\)和\(Q\)在同构意义下是唯一的。
\(k\)是单态射且\(q\)是满态射。
\(f\)是单态射\(\Longleftrightarrow K = 0\)；\(f\)是满态射\(\Longleftrightarrow Q = 0\)

有了核之后，我们还可以定义像\(\text{im} f = \text{coker}(\ker(f))\)和余像\(\text{coim} f = \ker(\text{coker}(f))\)。根据核与余核的泛性质，存在唯一的态射\(\text{coim} f \to \text{im} f\)。

阿贝尔范畴
如果一个可加范畴的每个态射都有核与余核（因而也有像和余像），那么就称其为预阿贝尔范畴。预阿贝尔范畴上可以定义正合：对于链复形\(A \xrightarrow{f} B \xrightarrow{g} C\)

如果\(g: B \to C\)的核\(k: K \to B\)存在唯一的满射\(\bar f : A \to K\)使得下图是交换的，就称序列在\(B\)处核正合。
如果\(f: B \to C\)的余核\(q: B \to Q\)存在唯一的单射\(\bar g : Q \to C\)使得下图是交换的，就称序列在\(B\)处余核正合。

如果一个序列在\(B\)处既是核正合又是余核正合，就称其为在\(B\)处正合。