同调代数笔记4

模的维数
Ext函子和Tor函子是研究模和环的重要工具，其中一个用途就是定义维数。

我们定义正合序列的长度是非零模的个数。对于左模\(M\)而言，

• 投射维数\(\text{pd}(M)\)定义为：投射分解的最短长度，或使函子\(\text{Ext}^n(M, -)\)非零的最大\(n\)
• 内射维数\(\text{id}(M)\)定义为：内射分解的最短长度，或使函子\(\text{Ext}^n(-, M)\)非零的最大\(n\)
• 平坦维数\(\text{fd}(M)\)定义为：平坦分解的最短长度，或使函子\(\text{Tor}_n(-, M)\)非零的最大\(n\)。
  对于右模，\(M\)的位置要换到另一边。

除此之外，我们还有以下等价命题：

\[\text{pd}(M)\leq n \Longleftrightarrow 对于M的任何投射分解，其n阶核是投射模 \]

\[\text{id}(M)\leq n \Longleftrightarrow 对于M的任何内射分解，其n阶上核是内射模 \]

\[\text{fd}(M)\leq n \Longleftrightarrow 对于M的任何平坦分解，其n阶核是平坦模 \]

环的维数
对于交换环\(R\)而言，我们也可以通过其模的维数来定义它的维数。例如，它的同调维数定义为

\[\text{gl}\dim(R) = \sup\{\text{pd}(M): M是R模\} = \sup\{\text{pd}(M): M是R模\} = \sup\{\text{pd}(R/I): I是理想\} \]

它的弱维数定义为

\[\text{w}\dim(R) = \sup\{\text{fd}(M): M是R模\} = \sup\{\text{fd}(R/I): I是有限生成的理想\} \]

此外，维数为0的环有一些特殊性质。我们首先定义：一个子模只有0和它本身的模称为单模，单模的直和称为半单模；如果一个环\(R\)的任意元素\(a\in R\)都可以表示成\(a = rar\)其中\(r\in R\)，则称其为冯诺伊曼正则环。我们有如下等价命题：

\[\text{gl}\dim(R) = 0 \Longleftrightarrow 所有R模都是半单模 \]

\[\text{w}\dim(R) = 0 \Longleftrightarrow R是冯诺伊曼正则环 \]

与交换代数的关系
在交换代数中，我们研究交换环的性质，这些性质也表现在维数中，例如：

1. 如果\(F: M_S \to M_R\)是正合函子，则任取\(B\in M_S\)，都有

\[\text{pd}_R(F(B)) \leq \text(pd)_S(B) + \text(pd)_R(F(S)) \]

\[\text{fd}_R(F(B)) \leq \text(pd)_S(B) + \text(fd)_R(F(S)) \]

2. 如果\(\phi: R \to \hat{R}\)是环的满同态，\(\hat{R}\)作为\(R\)模是投射模，则对任意\(\hat{R}\)模

\[\text{pd}_R(\hat{B}) = \text{pd}_\hat{R}(\hat{B}) \]

3. 对任意环\(R\)，\(n\)阶矩阵环的同调维数不变：

\[\text{gl}\dim(R) = \text{gl}\dim(M_n(R)) \]

4. 对任意\(R\)模\(B\)，多项式环的投射维数不变：

\[\text{pd}_{R[x]}(B[x]) = \text{pd}_{R}(B) \]

5. (Hilbert Syzygy定理的推广)对任意环\(R\)

\[\text{gl}\dim(R[x]) = 1 + \text{gl}\dim(R) \]

6. 对于交换环\(R\)的乘性子集\(S^{-1}\)，我们取任意\(B\in M_R, \hat{B} \in M_{S^{-1}R}\)都有

\[\text{pd}_{S^{-1}R}(S^{-1}B) \leq \text{pd}_{R}(B) \]

\[\text{fd}_{S^{-1}R}(\hat{B}) \geq \text{fd}_{R}(\hat{B}) \]

\[\text{gl}\dim(S^{-1}R) \leq \text{gl}\dim(R) \]