动力系统笔记3

设\(x= 0\)是可微的动力系统\(\dot{x} = f(x)\)的不动点。在研究\(x = 0\)附近的稳定性时，我们通常会将其线性化

\[f(x) = Ax + o(|x|) \]

那么什么时候这种线性化不会影响动力系统的稳定性呢？我们有如下的Hartman-Grobman定理：

设\(f(x)\)有双曲不动点\(x^* = 0\)，\(A\)是\(f\)在\(x=0\)处的Jacobi矩阵，则\(f\)在\(x^* = 0\)处与\(A\)局部共轭。

这个定理显然就是找到一个同胚映射\(h\)，使得

\[A \circ \phi = \phi \circ f \]

如果我们令\(f(x) = Ax + g(x), \phi = \text{id} + h\)，那么我们就要找到\(h\)满足方程

\[A \circ h - h\circ A = (\text{id} + h)\circ g \]

如果方程可以写成

\[h = F(h, g) \]

只要\(F\)是一致压缩映射，那么根据一致压缩原理，必定存在满足方程的\(h\)。也就是说我们要选取范数和一致压缩映射\(F\)，使得存在\(\alpha < 1\)满足对任意\(h_1, h_2,g\)

\[\|F(h_1, g) - F(h_2, g) \| \leq \alpha \|h_1 - h_2\| \]

由于\(f\)是双曲不动点，我们可以将\(A\)分解为\(A = A_+\oplus A_-\)，其中\(A_+\)的特征值在单位球以内，\(A_-\)的特征值在单位球之外，我们可以选取范数满足\(\alpha = \max\{\|A_+\|, \|A_-^{-1}\|\} < 1\)。从而我们构造\(F\)为

\[F_+(h, g) = (-g_+ + A_+ \circ h_+ ) \circ (A_+ + g_+)^{-1} \]

\[F_-(h, g) = A_-^{-1} \circ (g_-^{-1} + h_+ \circ (A_- + g_-)) \]

\[F = F_+(h, g) + F_-(h, g) \]

将\(F\)代入就可以验证压缩映射的条件成立。