动力系统笔记2

Sturm–Liouville边值问题是解如下的ODE:

\[L y = -\frac{1}{r(x) }\left(\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y\right) = \lambda y \]

使其满足边界条件

\[\alpha_1 y(a) + \alpha_2 y'(a) = 0, \alpha_1^2 + \alpha_2^2 > 0 \]

\[\beta_1 y(b) + \beta_2 y'(b) = 0, \beta_1^2 + \beta_2^2 > 0 \]

例如对于

\[Ly = -\frac{d^2y}{dx^2} = \lambda y, y(0) = y(\pi) = 0 \]

我们发现当\(\lambda_n = n^2\)时，\(y_n = \sin(n x)\)是它的解，当\(\lambda\)是其他值无解。并且通过定义内积

\[\left<f, g \right> = \int_a^b f(x)g(x)r(x)dx = \delta_{mn} \]

我们发现\(y_n\)两两正交。换句话说，\(\lambda_n\)是Sturm–Liouville算子\(L\)的特征值，而\(y_n\)是对应的特征向量。那么对于一般的Sturm–Liouville边值问题，我们如何确定特征值和特征向量呢？我们想到紧自伴算子的谱定理：

如果\(A\)是希特伯特空间\(V\)上的紧自伴算子，则存在收敛于0的实特征值序列\(\alpha_j\)，对应的特征向量\(u_j\)正交。

然而，我们看到Sturm–Liouville算子\(L\)不是有界的，例如\(||L y_n|| = n^2 ||y_n||\)，因此我们不能直接使用紧自伴算子的谱定理。但我们可以证明\((L - z)^{-1}\)是紧算子，其中\(z\in \mathbb{C}\)不是特征值：

如果\(u(x), v(x)\)是\((L-z)f = g\)在\(x\in (a, b)\)上的基础解系，那么方程的朗斯基行列式是\(W = u(x)v'(x) - u'(x)v(x)\)。利用常数变异法，\((L-z)f = g\)的解为

\[f(x) = \frac{u(x)}{p(x)W}\left(c_1 + \int_a^x v(t)g(t)r(t)dt\right) + \frac{v(x)}{p(x)W}\left(c_2 + \int_x^b u(t)g(t)r(t)dt\right) \]

于是我们可以构造格林函数和预解式

\[G(x, t) = \frac{1}{p(x)W}\begin{cases}u(x)v(t) & x \leq t\\ u(t)v(x) & x > t \end{cases} \]

\[R g = \int_a^b G(x, t)g(t)r(t) dt = f \]

也即\(R = (L - z)^{-1}\)。下面我们只要证明\(R\)是紧自伴算子，就可以使用谱定理。

我们注意到\(G\)是一致连续的，即对于任意\(\epsilon > 0\)，存在\(\delta > 0\)，使得\(|y - x| \leq \delta\)时\(|G(y, t) - G(x, t)| \leq \epsilon\)。那么任取有界函数序列\(\|g_n\| \leq M\)，我们都有

\[|R g_n(x) - R g_n(y)| \leq \int_a^b |G(x, t) - G(y, t) | \cdot \|g_n(t)\|dt < (b - a)\epsilon M \]

从而它们是等度连续的。由Arzelà–Ascoli定理，\(g_n\)存在一致收敛的子列。并且由于\(\left<Lf, g\right> = \left<f, Lg\right>\)，因此\(R\)是紧自伴算子。

这样一来，我们应用谱定理得到：存在可数个\((\alpha_n, g_n)\)满足\(Rg = (L - z)^{-1}g_n = \alpha_n g_n\)，其中\(g_n\)两两正交。从而\(L g_n = (z + \alpha_n^{-1}) g_n\)，也即\(z + \alpha_n^{-1}\)是\(L\)的特征值。