生成函数初学

生成函数初学

定义

生成函数：指无穷级数与函数的对应，其中无穷级数表示一个无限的数列的和。

我们定义一个生成函数 \(f(x)\) 是收敛的，当且仅当 \(f(x)\) 随着 \(x\) 的定向变化趋向于一个确定的极限值。如令 \(f(x)=\dfrac{1}{x}\)，当 \(x\rightarrow \infty\) 时，\(f(x)=\dfrac{1}{x}\rightarrow 0\)，为定值。

同理，与其相反地，我们定义一个生成函数 \(g(x)\) 是发散的，当且仅当 \(g(x)\) 随着 \(x\) 的定向变化趋向于无穷，即 \(g(x)\) 的值没有极限。如 \(g(x)=2x\)，\(x\rightarrow \infty\) 时，\(g(x)=2x\rightarrow \infty\)。

生成函数的主要应用是求排列组合。

下面以一道例题引入。

有 \(n\) 种物品可供选择，其中第 \(i\) 种物品有 \(c_i\) 个，现在要从中选取 \(k\) 个物品，求方案数。

我们用 \(x_i\) 表示第 \(i\) 个物品。对于第 \(i\) 种物品构造一个式子，形如：

\[{x_i}^0+{x_i}^1+{x_i}^2+\cdots+{x_i}^{c_i} \]

也即：

\[1+{x_i}+{x_i}^2+\cdots+{x_i}^{c_i} \]

第 \(i\) 个式子有 \(c_i+1\) 项，其中式子的第 \(j\) 项表示第 \(i\) 种物品 \(x_i\) 取了 \(j-1\) 个。

我们将取物品的过程看作对每一种物品分开考虑选取再合起来，那么可以将由上述方式得到的 \(n\) 个式子相乘，得到

\[(1+{x_1}+\cdots+{x_1}^{c_1})(1+{x_2}+\cdots+{x_2}^{c_2})\cdots(1+{x_n}+\cdots+{x_n}^{c_n}) \]

因为只考虑选取物品的个数，不考虑选取的物品具体是哪一种，所以所有的角标可以去除，即

\[(1+x+\cdots+x^{c_1})(1+x+\cdots+x^{c_2})\cdots(1+x+\cdots+x^{c_n}) \]

将表达式展开，不难得出 \(x^k\) 项前的系数即为答案。

普通型生成函数

普通型生成函数的一般形式：

\[\begin{aligned} f(x)&=\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i \\ &=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n \end{aligned} \]

令 \(a_i=1\)，就得到了最常见的普通型生成函数：

\[\begin{aligned} f(x)&=\sum\limits_{i=0}^\infty x^i \\ &=1+x+x^2+x^3+\cdots \end{aligned} \]

令 \(S=f(x)\)，则 \(xS=x+x^2+x^3+x^4\cdots\)

两式相减，得到 \((x-1)S=-1\)，故 \(f(x)=S=-\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{1-x}\)。

考虑在最常见的普通型生成函数做一些变形。

• \(x\rightarrow -x\)，\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {(-1)^ix^i}=\dfrac{1}{1+x}\)；
• \(x\rightarrow 2x\)，\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^\infty {2^ix^i}=\dfrac{1}{1-2x}\)；

插入：牛顿二项式定理

对任意实数 \(a,b,n\)，有

\[(a+b)^n=\sum\limits_{i=0}^n \dbinom{n}{i}a^ib^{m-i} \]

一般来说，使用时通常有 \(b=1\)，那么有

\[(x+1)^n=\sum\limits_{i=0}^n\dbinom{n}{i}x^i \]

拓展一下，可以得出

\[\dfrac{1}{(1-x)^n}=\sum\limits_{i=0}^\infty \dbinom{n+i-1}{i}x^i \]

P2000 拯救世界

将题意中的十条限制用式子表示出来，即

\[\begin{cases} 1+x^6+x^{12}+\cdots \\1+x+x^{2}+\cdots+x^9 \\1+x+x^{2}+\cdots+x^5 \\1+x^4+x^{8}+\cdots \\1+x+x^{2}+\cdots+x^7 \\1+x^2+x^4+\cdots \\1+x \\1+x^8+x^{16}+\cdots \\1+x^{10}+x^{20}+\cdots \\1+x+x^2+x^3 \end{cases} \]

这十个式子都可以用等比数列转化形式，相乘可得

\[\tfrac{1}{1-x^6}\times\tfrac{1-x^{10}}{1-x}\times\tfrac{1-x^6}{1-x}\times\tfrac{1}{1-x^4}\times\tfrac{1-x^8}{1-x}\times\tfrac{1}{1-x^2}\times\tfrac{1-x^2}{1-x}\times\tfrac{1}{1-x^8}\times\tfrac{1}{1-x^{10}}\times\tfrac{1-x^4}{1-x} \]

分子部分每一个式子在分母部分都有相同的式子，可以直接约去，最后分母还剩下 \((1-x)^5\)。

所以相当于我们要求 \(\dfrac{1}{(1-x)^5}\) 展开后第 \(n\) 项的系数，即 \(ans=\dbinom{5-1}{n+5-1}=\dbinom{4}{n+4}\)。

指数型生成函数（泰勒级数）

指数型生成函数的一般形式：

\[\begin{aligned} f(x)&=\sum\limits_{i=0}^\infty a_i\tfrac{x^i}{i!} \\ &=a_0+a_1x+a_2\tfrac{x^2}{2!}+a_3\tfrac{x^3}{3!}+\cdots+a_n\tfrac{x^n}{n!} \end{aligned} \]

同样令 \(a_i=1\)，可以得到最简单的指数型生成函数，记为 \(e^x\)。

\[\begin{aligned} e^x&=\sum\limits_{i=0}^\infty\tfrac{x^i}{i!} \\ &=1+x+\tfrac{x^2}{2!}+\cdots+\tfrac{x^n}{n!} \end{aligned} \]

拓展一下，不难得出

• \(e^{-x}=1-x+\tfrac{x^2}{2!}-\tfrac{x^3}{3!}+\tfrac{x^4}{4!}\cdots\)
• \(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}=1+\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^4}{4!}+\tfrac{x^6}{6!}+\cdots\)
• \(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}=x+\tfrac{x^3}{3!}+\tfrac{x^5}{5!}+\cdots\)

考虑这样一个问题。

给定 \(n\) 个集合，现在要分别从集合 \(1,2,\cdots n\) 中分别取出 \(k_i\) 个数。记 \(K=\sum k_i\)，将选出的 \(K\) 个数构成排列，求方案数。

同样对每一个集合用一个式子表示，但每一个集合中选取的数要求无序。故对于第 \(i\) 个集合，用以下式子表示：

\[\tfrac{x_i^0}{0!}+\tfrac{x_i^1}{1!}+\tfrac{x_i^2}{2!}+\cdots+\tfrac{x_i^{k_i}}{{k_i}!} \]

也即

\[1+x_i+\tfrac{x_i^2}{2!}+\cdots+\tfrac{x_i^{k_i}}{{k_i}!} \]

同样做乘法，取第 \(K\) 项的系数，但这只是选数的方案数，还需乘上 \(K!\) 得到排列数。

hdu - 2065

A，C 两个字符只能出现偶数次，生成函数为 \(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\)。

B，D 两个字符可以出现任意数次，生成函数为 \(e^x\)。

乘起来就是

\[\begin{aligned} & e^x\times e^x\times \dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\times \dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \\&=\dfrac{e^{4x}+2e^{2x}+1}{4} \end{aligned} \]

然后计算第 \(n\) 项的系数，为 \(\dfrac{4^n+2\times 2^n}{4}=4^{n-1}+2^{n-1}\)

练习

poj - 3734

poj - 1322

poj - 1014

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