HDU-4916 Count on the path

Problem

给定一棵树和 \(m\) 个询问，每个询问要求回答不在 \(x\) 和 \(y\) 两节点所形成的路径上的点的最小标号。

Input

多组数据，EOF结束。

第一行两个整数 \(n\) 和 \(q\)。(\(n,q \le 10^6\))

接下来 \(n-1\) 行，每行两整数，表示树上的一条边。

接下来 \(q\) 行，每行两个整数 \(x\) 和 \(y\)。

询问强制在线，\(x, y\) 要与上一次的结果进行异或操作（第一次询问则不操作）

Output

对于每个询问，输出最小不在 \(x\) 到 \(y\) 的路径上的最小编号。

若所有点都在路径上，则输出 \(n\)

Sample

Input 1

4 1
1 2
1 3
1 4
2 3
5 2
1 2
1 3
2 4
2 5
1 2
7 6

Output 1

4 3 1

Solution

首先容易发现一个性质，如果两点间的简单路径不经过 \(1\) 号点，答案就是 \(1\)。我们将 \(1\) 号点设为整棵树的根，然后分情况讨论。

1. 如果两点不经过 \(1\)，说明两点的 \(Lca \neq 1\)，由于数据范围较大，直接求 \(Lca\) 可能会 TLE。不难发现两点一定属于 \(1\) 的同一个子树内，于是遍历整棵树的时候记录下每个节点属于 \(1\) 的哪一个子树即可。

2. 如果两点经过 \(1\)，可以考虑将 \(x\) 到 \(y\) 的路径拆分成 \(1\) 到 \(x\) 和 \(1\) 到 \(y\)，也就是说我们要求不在这两条路径的点的编号最小值。我们用 \(mn_{x,0/1/2}\) 表示 \(x\) 的子树内，不包括 \(x\) 的最小的三个编号，这三个编号必须来自不同的子树。接着我们将 \(mn\) 数组的含义改为除去从 \(1\) 到 \(x\) 路径上的点的最小的三个值。这在原来的基础上还加上了 \(1\) 到 \(x\) 路径的侧链部分，可以考虑从父亲节点 \(fa\) 转移得到（\(fa\) 节点的答案包含了 \(x\) 点需要加上的侧链）。于是要在 \(x\) 子树内和 \(fa\) 的结果总共 \(6\) 个数中取较小的 \(3\) 个。此外，注意到 \(fa\) 的答案中可能包含 \(x\)子树内的答案，求取前 \(3\) 小时要注意去重。最后的答案只可能出现在 \(x\) 的 \(3\) 个答案和 \(y\) 的三个答案中选出不在 \(x\) 到 \(y\) 路径上的最小值，就判断是否均不为两点的祖先节点（或等于两点）即可。

时间复杂度 \(O(n)\)，带常数。

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int kmax = 1e6 + 1;
const int kmaxM = 21;

struct E {
    int p, y;
} e[kmax << 1];

int n, m;
int h[kmax], ec;
int mn[kmax][3];
int pr[kmax];
int d[kmax], f[kmax][kmaxM];
int l[kmax], r[kmax], idx;
int lres;

void Getmin(int x, int v) {
    if(v == mn[x][0] || v == mn[x][1] || v == mn[x][2] || v == x) return; // 去重
    if(v < mn[x][0]) {
        mn[x][2] = mn[x][1];
        mn[x][1] = mn[x][0];
        mn[x][0] = v;
    } else if(v < mn[x][1]) {
        mn[x][2] = mn[x][1];
        mn[x][1] = v;
    } else {
        mn[x][2] = min(mn[x][2], v);
    }
}

void Dfs(int x, int fa) {
    l[x] = ++idx;
    d[x] = d[fa] + 1, f[x][0] = fa;
    pr[x] = (fa == 0 ? -1 : (fa == 1 ? x : pr[fa])); // 记录属于1的哪一棵子树
    for(int i = 0; i < 3; i++) {
        mn[x][i] = n;
    }
    for(int i = 1; i < kmaxM; i++) {
        f[x][i] = f[f[x][i - 1]][i - 1];
    }
    for(int i = h[x]; i; i = e[i].p) {
        int y = e[i].y;
        if(y == fa) continue;
        Dfs(y, x);
        Getmin(x, min(y, mn[y][0]));
    }
    r[x] = idx;
}

void Dfss(int x, int fa) {
    for(int i = 0; i < 3; i++) {
        Getmin(x, mn[fa][i]); // 从父亲节点转移
    }
    for(int i = h[x]; i; i = e[i].p) {
        int y = e[i].y;
        if(y == fa) continue;
        Dfss(y, x);
    }
}

int Lca(int x, int y) {
    if(d[x] > d[y]) swap(x, y);
    for(int i = kmaxM - 1; ~i; i--) {
        if(d[f[y][i]] >= d[x]) {
            y = f[y][i];
        }
    }
    for(int i = kmaxM - 1; ~i; i--) {
        if(f[x][i] != f[y][i]) {
            x = f[x][i];
            y = f[y][i];
        }
    }
    return x == y ? x : f[x][0];
}

void Addedge(int x, int y) {
    e[++ec] = {h[x], y};
    h[x] = ec;
}

bool Son(int z, int x) {
    if(z > n) return 0;
    return l[z] <= l[x] && l[x] <= r[z]; // 判是否是祖先节点
}

void Solve() {
    for(int i = 1, x, y; i < n; i++) {
        cin >> x >> y;
        Addedge(x, y);
        Addedge(y, x);
    }
    Dfs(1, 0);
    Dfss(1, 1);
//  for(int i = 1; i <= n; i++) {
//      cout << "i = " << i << ":\n";
//      for(int j = 0; j < 3; j++) {
//          cout << mn[i][j] << ' ';
//      }
//      cout << '\n';
//  }
    for(int i = 1, x, y, z, l; i <= m; i++) {
        cin >> x >> y;
        x ^= lres, y ^= lres; // 强制在线
        if(pr[x] == pr[y]) {
            lres = (x == 1) + 1;
        } else {
            lres = 1e9;
            for(int j = 0; j < 3; j++) {
                z = mn[x][j];
                if(!Son(z, x) && !Son(z, y)) {
                    lres = min(lres, z);
                }
//              cout << z << '\n';
                z = mn[y][j];
                if(!Son(z, x) && !Son(z, y)) {
                    lres = min(lres, z);
                }
//              cout << z << '\n';
            }
        }
        cout << lres << '\n';
    }
}

void Init() {
    memset(h, 0, sizeof(h));
    ec = idx = lres = 0;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);
    while(cin >> n >> m) {
        Init();
        Solve();
    }
    return 0;
}