交叉匹配

Problem

给定两个正整数数列 \(a\)、\(b\)，长度分别为 \(n\)、\(m\)，如果 \(a\) 中有一个数和 \(b\) 中的某个数相同，并且都为 \(r\)，则我们可以将这两个数用线段连起来。我们称这条线段为 \(r\)-匹配线段。

我们想要对于给定的输入，找到画出最多匹配线段的方式，并且满足以下条件：

1. 每条 \(a\)-匹配线段恰好和一条 \(b\)-匹配线段相交，且 \(a\neq b\)（\(a\)，\(b\)表示任何值，并非某个特定的值）。我们称这样的匹配为交叉匹配。

2. 不允许两条线段从同一个数出发，即不能从一点连出两条线段。

3. 不允许一条线段和多条其它线段相交。

编一个程序对于给定输入数据，计算匹配线段的最多条数。

注意这个数总是偶数。

\(1 \leq n,m\leq 2000\)

Input

输入第一行，两个整数 \(n\),\(m\)，分别表示数列 \(a\) 和数列 \(b\) 的长度。

输入第二行，\(n\) 个整数，表示数列 \(a\)。

输入第三行，\(m\) 个整数，表示数列 \(b\)。

Output

输出仅一行，表示最多匹配线段的条数。

Sample

Input 1

6 6
1 3 1 3 1 3
3 1 3 1 3 1

Output 1

6

Input 2

12 11
1 2 3 3 2 4 1 5 3 5 10 4
3 1 2 3 2 4 12 1 5 5 3

Output 2

6

Solution

DP。

定义 \(f_{i,j}\) 表示 \(a\) 的前 \(i\) 个点和 \(b\) 前 \(j\) 个点最多匹配线段数。终态为 \(f_{n,m}\)

假设当前在考虑 \(f_{i,j}\)，首先一定可以从 \(f_{i-1,j}\) 和 \({f_i-1,j}\) 转移。

然后我们要来考虑交叉的情况。如果 \(a_i = b_j\)，显然是无法形成交叉的，所以 \(a_i \neq b_j\)。为了形成交叉，需要在数列 \(a\) 前 \(i\) 个数中找到一个与 \(b_j\) 相同的数与 \(b_j\) 构成线段，同时在数列 \(b\) 前 \(j\) 个数中找到一个与 \(a_i\) 相同的数与 \(a_i\) 构成线段，记这两个下标分别为 \(c\)，\(d\)。显然 \(c\) 离 \(i\) 越近越好，\(d\) 离 \(j\) 越近越好，每次算的时候更新下即可。

代码：

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <map>

using namespace std;

const int kmax = 2005;

int n, m, a[kmax], b[kmax];
int f[kmax][kmax];
map<int, int> pa, pb; // 记录上一次出现的位置

int main() {
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> a[i];
  }
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    cin >> b[i];
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
      f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i - 1][j]);
      if (a[i] != b[j]) {
        int ap = pa[b[j]], bp = pb[a[i]];
        if (ap && bp) { // 存在上一个点
          f[i][j] = max(f[i][j], f[ap - 1][bp - 1] + 2); // 转移
        }
      }
      pb[b[j]] = j;
    }
    pa[a[i]] = i;
    pb.clear(); // 要清空
  }
  cout << f[n][m] << '\n'; // 终态
  return 0;
}