boruvka

算法相关

流程

我们考虑维护连通块。将最开始的图视为全断开状态，则此时有 \(n\) 个连通块。对于每个连通块，维护其最优势出边，（即从最优的从连通块内的某一点向外连出的一条边）而后合并所有最优势出边的两端点所在的连通块。

合并后，继续循环该流程直至整张图连通块数量为 \(1\)。

因为在每次循环中，每个连通块至少会被合并 \(1\) 次，因此每次循环连通块数量至少减半，所以总时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

例题

P3366 【模板】最小生成树

模板。

keyence E - Connecting Cities

简要题意

给定一张图、序列 \(a\) 和定值 \(D\)。一条边 \(i \to j\) 的权值为 \(|i - j| \times D + a_i + a_j\)。求该图的最小生成树。

思路

可以使用分类讨论去掉绝对值，于是我们只做 \(i < j\) 的讨论，\(i > j\) 是类似的。

对于完全图的最小生成树，考虑 boruvka。于是我们只需要找到每个连通块的最优势出边即可。

当 \(i < j\) 时，上述式子可以化为：\(a_i - i \times D + a_j + j \times D\)。假设我们枚举 \(i\)，那么答案就是不在点 \(i\) 连通块里的点 \(j\) 的 \(a_j + j\) 的最小值。这个我们可以维护后缀（\(i > j\) 则是前缀）的所属连通块不同的最小、次小值。每次合并最优势出边的两端点即可。

P11307 [COTS 2016] 建造费 Pristojba

简要题意

给定一张图和序列 \(a\)，边 \(i \to j\) 的权值是 \(a_i + a_j\)。现有 \(m\) 种无向边 \(x \to [l, r]\)，求该图的最小生成树。

思路

那么对于点连向区间，可以在线段树上维护 \([l, r]\) 的 \(a_i\) 所属连通块不同的最小、次小值，只需要判断 \([l, r]\) 的最小次小值哪个和 \(x\) 不在一个连通块即可。

对于区间连向点，对于每一个点 \(i \in [l, r]\) 维护其可达的所属连通块不同最小、次小值即可。对于 \([l, r] \to x\)，令当前最小（或次小值）为 \(t_i\)，只需对每个 \(i \in [l, r]\) 执行 \(t_i \to \min \{ t_i, a_x \}\) 即可（更新最小值则将原信息传给次小值）。由于只需要区间修改、单点查询，于是可以用类似于标记永久化的思想，每次查询时求答案即可。