欧拉路径

算法相关

定义

• 欧拉路径：经过连通图中所有边恰好一次的路径。
• 欧拉回路：经过连通图中所有边恰好一次的环。
• 欧拉图：存在欧拉回路的图。
• 半欧拉图：存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图。

判定

有向图

记 \(in_x\) 表示 \(x\) 的入度，\(out_x\) 表示 \(x\) 的出度。若点 \(x\) 满足 \(in_x = out_x + 1\)，则 \(f(x) = \operatorname{True}\)，否则 \(f(x) = \operatorname{False}\)；若 \(in_x + 1 = out_x\)，则 \(g(x) = \operatorname{True}\)，否则 \(g(x) = \operatorname{False}\)；若 \(in_x = out_x\)，则 \(t(x) = \operatorname{True}\)，否则 \(t(x) = \operatorname{False}\)。

欧拉路径

若一张有向图 \(G\) 弱连通，并且当且仅当一个点 \(x\) 满足 \(f(x) = \operatorname{True}\)，另一个点 \(y(y \not = x)\) 满足 \(g(y) = \operatorname{True}\)，其余点 \(u(u \not = x, y)\) 满足 \(t(u) = \operatorname{True}\)，则称图 \(G\) 存在欧拉路径。

欧拉回路

若一张有向图 \(G\) 弱连通，并且当且仅当所有点 \(u\) 满足 \(t(u) = \operatorname{True}\)，则称图 \(G\) 存在欧拉回路。

无向图

记 \(deg_x\) 表示点 \(x\) 的度数。若点 \(x\) 满足 \(2 \mid deg_x\)，则 \(o(x) = \operatorname{True}\)，否则 \(o(x) = \operatorname{False}\)。

欧拉路径

若一张无向图 \(G\) 连通，并且当且仅当两个不同的点 \(x, y\) 满足 \(o(x) = o(y) = \operatorname{False}\)，其余点 \(u(u \not = x, y)\) 满足 \(o(u) = \operatorname{True}\)，则称图 \(G\) 存在欧拉路径。

欧拉回路

若一张无向图 \(G\) 连通，并且当且仅当所有点 \(u\) 满足 \(o(u) = \operatorname{True}\)，则称图 \(G\) 存在欧拉回路。

Hierholzer 构造法

对于欧拉路径，我们从理论上的欧拉路径起点开始 dfs；对于欧拉回路，从任意一点开始 dfs。

遍历当前点 \(x\) 的所有出边 \(x \to u\)。若该边未被走过则向点 \(u\) dfs。遍历完所有出边后，将点 \(x\) 加入回路，得到了一个反向的欧拉路径（回路）。

对于当前的点的剩余出边可以使用当前弧优化。

特别地，若要使得欧拉路径字典序最小，则只需在一开始将每个点的所有出边从小到大排序，并从编号最小的起点开始 dfs 即可。

习题

P1333 瑞瑞的木棍

思路

将一根木棍看成一条无向边，判断其是否存在欧拉路径即可。

P2731 [USACO3.3] 骑马修栅栏 Riding the Fences

简要题意

构造一个无向图的字典序最小的欧拉回路。

思路

对于每个点的出边按其对应点的大小排序。在此基础上再用 Hierholzer 构造可以保证字典序最小。

ABC - G - Unique Walk

简要题意

给定一张无向图和一个边集 \(S\)，判断是否存在一条路径使得 \(S\) 中的边恰好出现一次。

思路

将 \(S\) 中的边成为必需边，其余边称为非必需边。将所有非必需边所连成的点缩成一个点，而后对于这张新图跑欧拉路径即可。

P7771 【模板】欧拉路径

模板题。

P1127 词链

简要题意

如果单词 \(X\) 的末字母与单词 \(Y\) 的首字母相同，则 \(X\) 与 \(Y\) 可以相连成词链，请你找到字典序最小的词链，使得每个单词在词链中出现且仅出现一次。

思路

将字母看成点，单词看成边。对于每个点的出边的点按其单词字典序排序后求其欧拉路径即可。

P3520 [POI 2011] SMI-Garbage

简要题意

给定一张无向图，你必须经过一些边奇数次，经过其余边偶数次。构造一些简单环使得其满足上述条件。

思路

欧拉路径（回路）有经典结论：存在一个方案经过这条边偶数次，就存在方案不经过这条边；存在一个方案经过这条边奇数次，就存在方案经过这条边。

因此只需要将原图的欧拉回路集合拆分成若干个简单环即可。可以用类似于求 SCC 的方法维护一个栈。

Div. 2 D. Turtle and Multiplication

简要题意

构造一个序列 \(a\)，使得 \(\forall i, j(i \not = j)\) 满足 \(a_i \times a_{i + 1} \not = a_j \not = a_{j + 1}\)。

思路

不妨将 \(a_i\) 视为质数，这样原限制转化为判定两个二元组 \((a_i, a_{i + 1}), (a_j, a_{j + 1})\) 是否相同。这样就可以 \(a_i \to a_{i + 1}\) 建边，那么问题变成找到点数最少的带自环的完全图，使得这个完全图存在一条经过 \(n − 1\) 条边且不经过重复边的路径。

设这个图的点数为 \(k\)，则 \(k\) 为奇数时所有点度数为偶数，是一张欧拉图，构造路径是 easy 的。若 \(k\) 为偶数，则可以删去 \((2 \times x, 2 \times x + 1)\) 这一类边使得该图变为欧拉图。继续使用 Hierholzer 构造即可。

\(k\) 是 \(O(\sqrt n)\) 级别的，可以直接循环求出。

Div. 1 B. Weird journey

简要题意

给定一张无向图，你可以选择 \(m - 2\) 条边经过 \(2\) 次，其他 \(2\) 条边经过 \(1\) 次。问有多少种方案。

思路

转化为 \(2 \times m\) 条边，可以删掉两条边。问新图存在欧拉路径的删边方案。

可以删一条边一个自环、两个自环或两条共一个顶点的边。记自环个数为 \(x\)，点 \(i\) 度数为 \(deg_i\)。答案即为：

\[\binom{x}{2} + x \times (m - x) + \sum_{i = 1} ^ n \binom{deg_i}{2} \]

Div. 2 E. One-Way Reform

简要题意

将一张无向图定向，最大化出度等于入度的点。

思路

• 答案为原图度数为偶数的点。

证明：必要性：显然若出度等于入度则原图度数一定为偶数。充分性：考虑一个构造，不妨将所有度数为奇数的点跟一个虚点连接，那么度数为奇数的点都转化为度数为偶数的点。即该图存在欧拉回路，按照欧拉回路的方式给边定向即可。

实际实现也是把这个虚点建出来，Hierholzer 构造即可，只需要保留不包含虚点的边。

Div. 2 E. Maximum Matching

简要题意

给定四个点的无向图，在上面找一条权值最大的路径。

思路

若图不连通，那么连通块大小只能是 \(1, 2, 3\)，很好证明连通块内度数为奇数的点的个数不超过两个。那这个连通块一定是欧拉图，所得的最大值就是连通块内边权和。

若图连通，那么只有四个点的度数全部为奇数的图不是欧拉图。于是你可以删掉一条非自环边，这样可以使得某两个点的度数减 \(1\) 或者将其分割为多个连通块。这都会使得图变成一个欧拉图。

那么我们只需要枚举断哪一条边即可。