原神傻逼游戏。

一些话

上一次真正意义上的搞 OI 已经是 2024.10 了。

球球你了起码让我回到初二初三的水平好不好。

题目 \(60 \min\) 还卡就直接跳。

Tricks

求一个序列经过邻项对换变成单谷序列的最少操作数。

不妨只考虑大数对小数的贡献，这样便于统计。

对于一个 \(a_i\)，考虑其放在“谷”的左边还是右边。这样来分类讨论的话，答案记为 \(a_i\) 左边比它小的值的个数和右边比它小的值的个数的较小值。BIT 可以简单维护。

To Do List

P16280 题解。
P15975
P14031
CF1542E

进程

P9350 [JOI 2023 Final] 宣传 2 / Advertisement 2

评级：普及/提高-。

用时：\(45 \min\)。

拆绝对值，而后有两条限制，直接排序枚举即可。

P14332 [JOI2021 预选赛 R2] 活动巡游 / Event Hopping

评级：普及/提高-。

用时：\(60 \min\)。

分成在当前城镇和不在当前城镇两个部分 dp，对于后者二分转移即可。

P11663 [JOI 2025 Final] 勇者比太郎 2 / Bitaro the Brave 2

评级：普及/提高-。

用时：\(45 \min\)。

二分初始力量，check 里面写个简单的前后缀判断即可。

P7804 [JOI Open 2021] 决算报告 / Financial Report

评级：提高。

用时：\(120 \min\)。

有一个非常显而易见的转移：

\[dp_i = \max_{a_i > a_j \land j \in sub(i)} ^ {j \in [1, i - 1]} \{ dp_j + 1 \} \]

关键在于如何求 \(sub(i)\)。

我们按 \(a_i\) 排序，而后从小到大将其下标插入 std :: set。不难发现若 \(j \in sub(i)\) 当且仅当在 std :: set 中 \(i, j\) 相差不超过 \(D\)。

在此之上，线段树维护转移即可。

P11202 [JOIG 2024] 名前 / Name

评级：提高+/省选-。

用时：\(240 \min\)。

对于 \(K\) 这个条件而言，考虑逐步限制。

对于 \(K = 0\)：记 \(dp_{i, j}\) 表示已经考虑到 \(S_i, T_j\) 的最短长度，是一个经典的双序列 dp。
对于 \(K = 1\)：记 \(dp_{i, j, c_1}\) 表示已经考虑到 \(S_i, T_j\) 且答案串的末尾为 \(c_1\) 的最短长度。转移时对于一个字符 \(c\) 判断其是否能转移，该步也是平凡的。
对于 \(K = 2, 3\)，同理知在状态后面额外添加答案串的末尾字符即可。

当 \(K = 3\) 时上述状态设计复杂度最劣，为 \(O(n ^2 |\Sigma| ^3)\)。

对于这个状态进行观察，我们发现可以将末尾字符简单的归成四类：

占位符，对后续状态没有限制。
匹配 \(S_i\)。
匹配 \(T_j\)。
\(S_i, T_j\) 都匹配。

进而分析可知，同一种类的字符转移方式时相似的。

基于该分析，我们可以优化状态：记 \(dp_{i, j, x, y, z}\) 表示已经考虑到 \(S_i, T_j\) 且答案串的末尾字符种类分别为 \(x, y, z\) 的最短长度。

转移可以简单的按是否为占位符分个类，自然是好写的。

重点在于判断非占位符是否能转移，记录状态中 \(S, T\) 的偏离步数即可。

P12458 [JOI2025 预选赛 R2] 冰淇淋 / Softcream

评级：普及+/提高-。

用时：\(60 \min\)。

题意转化为求：

\[\max_{i = 1} ^ x \min_{j = 1} ^ y \max_{k = 1} ^ z \{ |a_i + b_j + c_k - p| \} \]

显然 \(c_k\) 最大或最小时取到答案，式子进一步化为：

\[\max_{i = 1} ^ x \min_{j = 1} ^ y \max \{ |a_i + b_j + c_{max} - p|, |a_i + b_j + c_{min} - p| \} \]

不难发现 \(b_j\) 取绝对值内两式和一半的相反数上式取答案，简单二分即可。

P17089 掷出重围

评级：普及+/提高-。

用时：\(120 \min\)。

小观察：按 \(w_i\) 排序后投球一定不劣。

于是设 \(dp_{i, j, k}\) 表示前 \(i\) 物品，当前背包容量为 \(j\)，最大价值为 \(k\) 的总贡献。

对于物品 \(i\) 的转移，按其是否大于现在的 \(k\) 分类转移，具体地：

若 \(w_i > k\)，\(dp_{i, j, k} \to dp_{i + 1, j + x_i, w_i}\)。
否则 \(dp_{i, j, k} \to dp_{i + 1, j + x_i, k + 1}\)。

离散化 \(w_i\) 即可。

P10206 [JOI 2024 Final] 建设工程 2 / Construction Project 2

评级：普及+/提高-。

用时：\(30 \min\)。

枚举一条边 \((u, v)\)，重连这条边合法的条件为：

\[dis_{s, u} + dis_{v, t} + l \le k \]

枚举一维维护一维即可。

P14799 [JOI 2026 二次预选] 比太郎之旅 3 / Bitaro's Travel 3

评级：普及+/提高-。

用时：\(30 \min\)。

注意到路径起点一定是奇数且奇偶性和步数相关，直接拆点为奇数点和偶数点即可。

P14798 [JOI 2026 二次预选] 购物 3 / Shopping 3

评级：普及+/提高-。

用时：\(60 \min\)。

直接二分 \(k\)，可以对 \(a\) 序列分为两段算贡献，这个可以二分查找第一个大于 \(k \times d_j\) 的位置。

容易发现这个序列的贡献函数是一个下凸壳，其导函数斜率是单调递增的，在其上面二分即可。

P15823 [JOI Open 2013] 观影 / Watching

评级：普及+/提高-。

用时：\(120 \min\)。

\(w\) 越大，所需相机数量不减，可以对 \(w\) 二分。

这里的一个有效状态是形如 \((i, j, k)\) 形式的，表示到了第 \(i\) 个活动地点，使用了 \(j\) 个小型相机和 \(k\) 个大型相机。

可是这样设计状态无法进行有效的判断，不妨将可行性问题转换为最优化问题重新设计：记 \(dp_{i, j}\) 表示到了第 \(i\) 个活动地点，使用了 \(j\) 个小型相机所需的大型相机数，则最后只需检查 \(dp_{n, p}\) 是否大于 \(q\) 即可。

P16255 [DSTOI Round 0] 白石溪

评级：普及+/提高。

用时：\(60 \min\)。

划分序列的问题自然的想到 dp。题目中的两个限制框定了转移范围，轻松转移即可。

P15797 【MX-J28-T4】「Cfz Round 8」Color Problem

评级：提高+/省选。

用时：\(180 \min\)。

考虑如何设计状态转移才是完备的。需要知道当前在第几列，连通块大小和前几列的状态。基于该分析，我们得知让连通块所占的信息越少对我们而言是越有利的。所以可以设计 \(dp_{i, j, S}\) 表示第 \(i\) 当前连通块大小为 \(j\) 前面状态为 \(S\) 的染色方案。额外设计 \(f_i\) 表示连通块大小不超过 \(i\) 的染色方案数。这样答案是便于统计的，为：

\[\sum_{i = 1} ^ h f_i - f_{i - 1} \]

另外考虑状态之间的转移即可。这个可以较为简单的手模出来。

P16812 [蓝桥杯 2026 国 Python A] 压缩字符串

评级：提高。

用时：\(240 \min\)。

首先发现可以按 # 分段。不妨设第 \(i\) 段长度为 \(j\) 的字符串方案为 \(res_{i, j}\)，那么答案实际上是对 \(res_{i, j}\) 做背包。

再来考虑段内的问题，其本质为求本质不同子序列方案数，直接求解即可。

P15289 「YLLOI-R3-T4」止战之殇

评级：普及+/提高。

用时：\(90 \min\)。

考虑求出两个怪兽之间最多能待几个回合，基于此一直向左跳到头再往右或向右跳到头再往左即可。

细节很多，考虑直接拼四个贪心上去。（）

P15278 [MCO 2025] Subsequence

评级：提高。

用时：\(120 \min\)。

很弱智的 ds 优化 dp，感觉我初二就能做。

P15267 「UTOI 1B」Chaotic Time Trio

评级：普及+/提高-

用时：\(100 \min\)

不难发现无解的情况：

\(\{0, 0 \}\)。
\(\{ 0, 0, 0 \}\)。
\(\{ x(x > 0) \}\)。
\(\{ 0, x(x > 0) \}\)。
\(\{ x, y, z(x, y, z > 0) \}\)。

排除这些情况后，可以这样构造：

钦定一个 \(x(x > 0)\)。
将集合中 \(x\) 以外的数插入集合中，每次取最大值与次大值合并。
可以证明最后答案为 \(0\)。

corner case：全 \(0\) 或全 \(x(x > 0)\) 序列可以先合并两项。

P14982 [USACO26JAN1] Supervision G

评级：提高。

用时：\(150 \min\)。

对教练 dp，转移为：

\[dp_i = \sum_j dp_j \times 2 ^ {cnt_j} \]

一个学员对教练的贡献是一段区间，这样我们维护区间乘法，区间求和即可。

P15059 [UOI 2023 II Stage] Product

评级：提高。

用时：\(100 \min\)。

很经典的题。钦定 \(a_i\) 为次小值，st 表 + 二分可以确定最大值位置。

知道了最小值和次小值位置之后可以继续 st 表 + 二分去扩展最长的区间。

P14981 [USACO26JAN1] Milk Buckets G

评级：提高。

用时：\(20 \min\)。

考虑阶段二的贪心：假设已经确定了合并顺序序列 \(a\)，其贡献为：

\[\frac{1}{2 ^ {n}} \sum_{i = 1} ^ n 2 ^ {i - 1} \times a_i \]

可知从小到大填 \(a_i\) 上式最大。

再回来考虑阶段一：如何确定序列的最后形态。注意到第 \(i\) 次合并只要与第 \(i - 1\) 次合并相邻即可，那么就是对于一个递增的填数顺序，只要保证第 \(i\) 次填数放在第 \(i - 1\) 次填数的左右即可。这是一个单谷序列。

问题转化为上文的 Tricks 中的单谷序列内容。

P14969 They'll lead me to you

评级：提高。

用时：\(60 \min\)。

枚举 \(\operatorname{mex}\)，序列划分为若干个不含 \(\operatorname{mex}\) 的区间，把这些询问挂在端点上即可。至于贡献的计算，可以用 BIT 轻松维护。

P15360 「WYZOI R2」烟花

评级：普及+/提高-

用时：\(105 \min\)。

模型是子序列 dp，难点在于 check 是否能转移。

注意到竖直距离不超过 \(d\) 这个条件可以转化为斜率区间，将枚举点上下平移算区间范围即可。

P16280 「MierOI R1」Eternal

评级：提高。

用时：\(120 \min\)。

考虑刻画区间形态，一定是一个极大区间左右端点包着几个小区间状物。

维护前缀状态和后缀状态，枚举一个断点，这样就可以统计出一个区间的信息了，而后是一个简单的子序列 dp。

ABC - E - Battles in a Row

评级：普及。

用时：\(3 \min\)。

可行性转最优性：\(dp_{i, j}\) 表示第 \(i\) 个怪剩余生命值为 \(j\) 的最少魔力值花费。

ABC - E - Maximum Glutton

评级：普及+/提高。

用时：\(5 \min\)。

可行性转最优性：\(dp_i\) 表示甜度为 \(i\) 时的最小咸度。

ABC - F - Must Buy

评级：普及+/提高。

用时：\(60 \min\)。

前后缀背包，钦定 \(i\) 的取舍以判断它的必要性。

ABC - F - Sensor Optimization Dilemma

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

注意到枚举一种传感器的使用数量可以计算另一种的使用数量。记 \(dp_{i, j}\) 表示覆盖完前 \(i\) 段需要使用 \(j\) 个 \(1\) 类型传感器。而后枚举一个 \(k\) 作为第 \(i\) 段的使用数量，而后直接转移即可。

ABC - E - Warp

记 \(dp_{i, j, k}\) 表示方案 \(1, 2, 3\) 分别用了 \(i, j, k\) 次。std :: set 判掉障碍点即可。

ABC - E - Subarray Sum Divisibility

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

发现序列的最终态一定是 \(a_i\) 与 \(a_{i + L}\) 同余，可以预处理出 \(val_{i, j}\) 表示模 \(L\) 为 \(i\) 的位置模 \(m\) 为 \(j\)，背包合并这一坨即可。

ABC - F - Monochromatic Path

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

注意到对一行或一列进行大于一次操作是无意义的，因此我们定义 \(dp_{i, j, x, y}\) 表示走到点 \((i, j)\) 且第 \(i\) 行第 \(j\) 列是否被操作的最小费用。显然第 \(i\) 行能被操作的条件是第 \(i - 1\) 行的同列元素与其颜色相反。对于列同理。如此转移即可。

ABC - E - Don't Isolate Elements

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

假如我们要考察第 \(x\) 行是否合法，我们需要得知第 \(x - 1. x +1\) 行的信息才能判断。依此设计 \(dp_{i, x, y}\) 表示到第 \(i\) 行且已经确定了前 \(i - 1\) 行且第 \(i\) 行是否被操作，第 \(i - 1\) 行是否被操作的合法的最小操作数。转移时枚举 \(i - 1\) 的 dp 状态即可。

ABC - G - AtCoder Tour

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

考虑最后的答案形式，一定是走到某一个点并且一直待着不在走动的形式。而从起点到任意一个点所走动的距离一定不超过 \(n \times m\) 步。因此设 \(dp_{i, j, k}\) 表示到点 \((i, j)\) 走了 \(k\) 步的最大乐趣值（不加等待时间）。随便转移即可。

ABC - F - Shortcuts

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

一个经典的序列划分 dp。观察到至多跳过 \(O(\log V)\) 个点，因此只需要 \(O(\log V)\) 枚举上一位，\(O(\log V)\) 判断合法性即可。

ABC - F - Prefix LIS Query

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

注意到询问 \(X_i\) 对我们的限制是最紧的，于是我们离线后用按值从小到大插入，线段树转移即可。

ABC - F - |LIS| = 3

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

因为合法序列的 LIS 长度不超过 \(3\)，且观察到值域不超过 \(10\)。所以不妨设 \(dp_{i, x, y, z}\) 表示已经填完前 \(i\) 位，当前合法的 LIS 是 \((x, y, z)\) 的情况。转移只需枚举一个数 \(w\) 替换 \((x, y, z)\) 中的一个即可。

ABC - F - Simple Operations on Sequence

用时：\(90 \min\)。

评级：普及+/提高-。

是一个经典题。考虑往已选集合里面添加一个单点的代价即可。

DP - V - Subtree

用时：\(90 \min\)。

评级：普及+/提高-。

设计 \(\operatorname{sub}(x)\) 和 \(U \backslash \operatorname{sub}(x)\) 的状态，换根时发现贡献是形如排除 \(\operatorname{sub}(x)\) 中的某个点，前后缀优化即可。

G - Vertex Deletion

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

结论是最大匹配等于总点数减最大独立集，问题转化为树上最大独立集。

ABC - F - Treasure Hunting

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

考虑钦定 \(a_{x, y}\) 为第 \(K\) 大整数，设 \(dp_{i, j, k}\) 表示走到点 \((i, j)\)，选完了前 \(k\) 大整数的最小代价。转移比较 navie。

ABC - G - Divide a Sequence

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

可以分成两个部分分别 dp，单调栈转移即可。

ABC - F - Two Exams

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

很舒服的题目，根据偏序关系转移即可。

ABC - E - RLE

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

设 \(dp_{i, j}\) 表示前 \(i\) 位替换成长度为 \(j\) 的字符串的方案数，有转移：

\[dp_{i, j} \to dp_{i + len, j - (f(len) + 1)} \]

其中 \(f(len)\) 表示 \(len\) 在十进制下的位数。

发现 \(f(len)\) 只有 \(4\) 种取值，对于每一种转移前缀和即可。

ABC - G - Pre-Order

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

简单区间 dp。对于右子树新建虚拟节点即可。

P13009 【MX-X13-T4】「KDOI-12」好胜是人的本能，功利是社会的本性。

用时：\(45 \min\)。

评级：普及+/提高-。

注意到至多只会操作 \(2\) 次，于是可以设 \(dp_{i, j}\) 表示到第 \(i\) 位且第 \(i\) 位操作了 \(j\) 次的最小操作数。

P13010 【MX-X13-T5】「KDOI-12」茫茫人海如都市的晚高峰，迎面的车终将相遇，迎面的车终将分别。

用时：\(45 \min\)。

评级：提高。

注意到调配的约束随着最大负载量的减少而加紧，所以我们可以二分最大负载量，模拟分配车道的过程即可。

P14378 【MX-S9-T1】「LAOI-16」签到

用时：\(45 \min\)。

评级：提高。

首先原序列可以变为一个新序列，对新序列排序。对于一个修改，找到其在新序列上的位置，序列被分为三段，对于每一段简单算一下贡献即可，可以画图模拟一下。

P13732 【MGVOI R1-D】图上的数（graph）

咕一下。

P13562 「WWOI R1」WsW 的田地

用时：\(45 \min\)。

评级：提高。

对于差分数组随机赋权哈希即可。

Div. 1 C. XOR Inverse

用时：\(45 \min\)。

评级：提高。

对原序列建出 01 trie，那么 01 trie 上保证了 \(a_i < a_j\) 的偏序，我只要统计横跨左右子树的逆序对即可。

Div.2 E. Marbles

用时：\(45 \min\)。

评级：提高。

可以预处理出一个颜色挪到一个颜色集合前面的代价，而后 dp 即可。

Div. 2 D. Hot Start Up

D1

用时：\(30 \min\)。

评级：普及+/提高-。

设 \(dp_{i, j}\) 表示两个 CPU 分别以 \(a_i, j\) 结尾的代价，分类转移。

D2

用时：\(45 \min\)。

评级：提高。

压维后，转移可视作全局加，单点修改，前缀查询。线段树维护即可。

VK CUP C. Monsters

题目转化为维护一个首项、公差为 \(1\) 的等差数列。

这个可以挂到值域线段树上维护。

Div. 2 E. AND-MEX Walk

一个重要的观察：答案不超过 \(2\)。

对于答案分别为：\(0, 1, 2\) 的情况分别考察，可以按位维护并查集。这样答案的取值可以用并查集的连通性统计出来。

Div. 1 + Div. 2 D. New Year and Conference

本质上还是偏序的套路，枚举左端点维护右端点即可。

Div. 1 B. A Lot of Games

建出 Trie，叶子节点是必败态。跟据这个可以推出其它节点的可胜态和可败态。

Div. 1 C. Limited Edition Shop

按照原顺序是不好做的，考虑按 Alice 顺序做。

设计 \(dp_{i, j}\) 表示按该顺序 Alice选完前 \(i\)，Bob 选了 \(j\) 个的代价。记 \(pos_i\) 表示 Bob 对应的 Alice 的下标，有刷表转移：

\[dp_{i, j} + v_i \to dp_{i + 1, j} \\ dp_{i, j} \to dp_{i + 1, pos_i} \]

一个全局加一个单点修，线段树维护转移即可。

Div. 2 E. A Trivial String Problem

简单的 Border dp。

Div. 2 E. Predicting Popularity

维护一棵值域线段树，线段树维护 \(\max(a_i - ac, 0) + \max(d_i - dr, 0)\) 的值。每次修改相当于后缀加，查询则是在线段树上查询第一个 \(\max(a_i - ac, 0) + \max(d_i - dr, 0) \geq i\) 的位置，线段树上二分即可。

Div. 1 C. Revival

限制从后往前逐步加紧，不妨倒序确定元素。这样是可以二分出当前元素的，至于判重，使用并查集即可。

Div. 2 E1. Looking at Towers (easy version)

\(L(h), R(h)\) 的交一定是 \(\max h_i\)。因此先求出 \(L(h), R(h)\)，在位置 \(x(h_x = \max h_)\) 进行决策，就是一个简单的双序列 dp。

Div. 2 E. Simons and Dividing the Rhythm

划分序列 dp。设计 \(dp_i\) 表示前 \(i\) 位操作后得到的新字符串方案数。但是这样做是要去重贡献的。我们思考问题的最小子问题：若一个区间被翻转，其任意子区间没有除翻转该区间的其他方案到达该翻转状态，则这个区间的翻转贡献有且仅有这一次。我们称这种区间为最短合法区间

那么我们可以更改状态设计：\(dp_i\) 表示前 \(i\) 位只翻转最短合法区间所得新字符串方案数。记区间 \([l, r]\) 的最长 border 的长度为 \(\pi_{[l, r]}\)，则区间为最短合法区间当且仅当 \(\pi\) 值为 \(0\)。

Div. 1 B. Strange Definition

\[K = \frac{\operatorname{lcm}(x, y)}{\gcd(x, y)} = \frac{x \times y}{\gcd ^ 2 (x, y)} \]

当且仅当 \(x \times y\) 为完全平方数时 \(K\) 为完全平方数。

那么对于一个 \(x\)，将其唯一分解为 \(\prod p_k ^ {c_k}\) 的形式，令 \(S\) 为满足 \(2 \nmid c_k\) 的 \(k\) 的集合，那么统计每一个 \(x\) 的 \(\prod_{k \in S} p_k\) 即可，记这个值为 \(\operatorname{val}(x)\)。

由于相邻的数操作后会变为它们的乘积，因此只有操作一次或不操作是有效的。

对于不操作的部分，答案为 \(\operatorname{val}(x)\) 出现次数的最大值。

对于操作一次的部分，答案为 \(\operatorname{val}(x) = 1\) 的出现次数加 \(\operatorname{val}(x)\) 的出现次数整除 \(2\) 的出现次数之和。