势能线段树

简介

通过定义势能函数 \(\phi(i)\) 去描绘整个序列的势能从而推导正确的复杂度。

例题

P4145 上帝造题的七分钟 2 / 花神游历各国

典。

设 \(\phi(i)\) 表示第 \(i\) 个元素的势能。

一个元素不停的开根一定会变成 \(1\)，不妨将元素 \(x\) 改写成 \(2^k\) 的形式。一次开根会将 \(k\) 砍半，因此 \(\phi(i) = \log \log V\)。

放在线段树上，维护区间最大值即可。

时间复杂度 \(O(n \log n \log \log V)\)。

代码：

namespace Segment_Tree {
	#define mid (L + R) >> 1
	#define son p, L, R
	#define lson ls(p), L, (L + R) >> 1
	#define rson rs(p), ((L + R) >> 1) + 1, R

	int mx[N << 2], sum[N << 2];

	inline int ls(int p) {
		return p << 1;
	}

	inline int rs(int p) {
		return p << 1 | 1;
	}

	inline void psup(int p) {
		mx[p] = max(mx[ls(p)], mx[rs(p)]);
		sum[p] = sum[ls(p)] + sum[rs(p)];

		return ;
	}

	inline void build(int p = 1, int L = 1, int R = n) {
		if(L == R) {
			mx[p] = sum[p] = a[L];

			return ;
		}

		build(lson), build(rson), psup(p);

		return ;
	}

	inline void add(int l, int r, int p = 1, int L = 1, int R = n) {
		if(mx[p] <= 1) return ;

		if(L == R) {
			sum[p] = sqrt(sum[p]);
			mx[p] = sqrt(mx[p]);

			return ;
		}

		if(l <= mid) add(l, r, lson);
		if(r > mid) add(l, r, rson);

		psup(p);

		return ;
	}

	inline int query(int l, int r, int p = 1, int L = 1, int R = n) {
		if(l <= L && R <= r) return sum[p];

		int res = 0;

		if(l <= mid) res += query(l, r, lson);
		if(r > mid) res += query(l, r, rson);

		return res;
	}

	#undef mid
	#undef son
	#undef lson
	#undef rson
}

P9989 [Ynoi Easy Round 2023] TEST_69

Ynoi！不过是 Easy Round。

还是设 \(\phi(i)\) 表示第 \(i\) 个元素的势能。

注意到每次有效操作至少会除去 \(2\) 这个最小的因子，由此得出 \(\phi(i) = \log V\)。

在线段树上维护区间 \(\operatorname{lcm}\) 判断是否与给出的数 \(x\) 有整除关系即可。

时间复杂度 \(O(n \log n \log V)\)。

namespace Segment_Tree {
	#define mid (L + R) >> 1
	#define son p, L, R
	#define lson ls(p), L, (L + R) >> 1
	#define rson rs(p), ((L + R) >> 1) + 1, R

	int sum[N << 2];
	__int128 lcm[N << 2];

	inline __int128 Lcm(__int128 x, __int128 y) {
		return x / __gcd(x, y) * y;
	}

	inline int ls(int p) {
		return p << 1;
	}

	inline int rs(int p) {
		return p << 1 | 1;
	}

	inline void psup(int p) {
		sum[p] = (sum[ls(p)] + sum[rs(p)]) % mod;
		if(Lcm(lcm[ls(p)], lcm[rs(p)]) <= 1e18) lcm[p] = Lcm(lcm[ls(p)], lcm[rs(p)]);
		else lcm[p] = 1e18;

		return ;
	}

	inline void build(int p = 1, int L = 1, int R = n) {
		if(L == R) {
			sum[p] = lcm[p] = a[L];

			return ;
		}

		build(lson), build(rson), psup(p);

		return ;
	}

	inline void add(int l, int r, int k, int p = 1, int L = 1, int R = n) {
		if(Lcm(lcm[p], k) == k) return ;

		if(L == R) {
			sum[p] = __gcd(sum[p], k);
			lcm[p] = sum[p];

			return ;
		}

		if(l <= mid) add(l, r, k, lson);
		if(r > mid) add(l, r, k, rson);

		psup(p);

		return ;
	}

	inline int query(int l, int r, int p = 1, int L = 1, int R = n) {
		if(l <= L && R <= r) return sum[p];

		int res = 0;

		if(l <= mid) res = (res + query(l, r, lson)) % mod;
		if(r > mid) res = (res + query(l, r, rson)) % mod;

		return res % mod;
	}

	#undef mid
	#undef son
	#undef lson
	#undef rson
}