哈密顿图上的度数序列在这里有一个依赖闭包的证明，然后我有一天闲着没事找到了神秘的原论文并发现了不依赖 \(\text{Ore}\) 定理的做法。

Posa 定理

1. 对所有满足 \(1\le k<\frac{n-1}{2}\) 的整数 \(k\)，度不大于 \(k\) 的顶点个数 \(<k\)。
2. 度不大于 \(\frac{n-1}2\) 的顶点个数 \(\le\frac{n-1}{2}\)。
   满足上述条件的简单无向图（\(n\ge3\)）是哈密尔顿图。

记原图为 \(G=(V,E)\)。

首先，这个图显然是连通的，假设有一个大小为 \(r\) 的连通块，那么其中的点的度数不超过 \(r-1\)，根据条件 \(1\)，如果 \(r\le\frac{n-1}{2}\)，那么这样的点至多有 \(r-1\) 个，矛盾。只能是 \(r>\frac n2\)，于是 \(G\) 是连通的。

取一条最长的简单路径 \(p:p_1-p_2-\cdots-p_m\)，同时满足 \(d(p_1)+d(p_m)\) 是所有最长简单路径中最大的，断言 \(p_1\) 的所有邻居 \(N(p_1)\subseteq p\)，否则假设有一个这样的邻居 \(n\)，那么 \(n-p_1\to p_m\) 是一条更长的简单路径，和最大性矛盾。

设 \(S=\{p_i\in p:p_{i+1}\in p,p_{i+1}-p_1\in E\}\)，也就是 \(p\) 中 \(p_1\) 的邻居的前驱构成的点的集合。显然，\(p_m\not\in S\)，否则可以找到更长的路径 \(p_1\to p_m-p_{m+1}\)。

若 \(p_i\in S\)，则 \(p_i-p_{i-1}-\cdots-p_1-p_{i+1}-p_{i+2}-\cdots-p_m\) 也是最长的一条路径，根据选取路径的假设，有 \(d(p_i)\le d(p_1)\)。于是有至少 \(|S|\) 个顶点的度数 \(\le d(p_1)\)。

又有 \(N(p_1)\subseteq p\)，于是 \(|S|= d(p_1)\)，为了满足条件 \(1\)，只能是 \(d(p_1)\ge\frac{n-1}{2}\)。

根据对称性，也有 \(d(p_m)\ge\frac{n-1}2\)。

假设 \(d(p_1)=d(p_m)=\frac{n-1}2\)，此时 \(S\cup\{p_m\}\) 是一个大小为 \(d(p_1)+1=\frac{n+1}{2}\) 的点集，且其中的点度数都 \(\le\frac{n-1}{2}\)，这与条件 \(2\) 矛盾。

于是一定有 \(d(p_1)+d(p_m)\ge n\)，\(p_m\) 与 \(d(p_m)\) 个顶点相邻，于是其与 \(n-d(p_m)\le d(p_1)\) 个顶点不相邻，并且 \(p_m\) 不是自己的邻居，于是 \(V\setminus\{p_m\}\) 中至多有 \(d(p_1)-1\) 个顶点与 \(p_m\) 不相邻。而 \(S\) 中有 \(d(p_1)\) 个顶点，且 \(p_m\not\in S\)，于是一定存在一个 \(p_i\in S\)，\(p_i-p_m\in E\)。

仿照之前的构造，\(p_i-p_{i-1}-\cdots-p_1-p_{i+1}-p_{i+2}-\cdots-p_m\) 也是一条最长路径，因为 \(p_i-p_m\in E\)，所以存在 \(p_i-p_m\) 的环 \(C\)。此时任意点 \(v\) 与 \(C\) 中任意点 \(u\) 相邻都可以得到更长的一条路径 \(v-u\to p_m\to p_i\to u\)，与最大性矛盾，只能有 \(|C|=n\)。

此时 \(C\) 就是一个哈密尔顿回路，得证。

Bondy-Chvátal 定理

设 \(G=(V,E)\)，\(d_1\le d_2\le d_n\)，若 \(\forall k<\frac n2,d_k> k\lor d_{n-k}\ge n -k\)，则 \(G\) 是哈密尔顿图。

若 \(\forall k<\frac n2,d_k>k\)，那么满足 \(\text{Posa}\) 定理的条件，\(G\) 已经是哈密尔顿图。

若 \(\exists k<\frac n2,d_k\le k\)，下面证明此时一定有 \(d_{n-k}\ge n-k\)。

假设 不是哈密顿图且满足上述条件，那么 \(G\) 一定是一个极大非哈密尔顿图（加入任意一条边会变成哈密尔顿图的图）\(G^\prime\) 的子图，接下来我们在 \(G^\prime\) 中讨论，显然 \(G^\prime\) 中不存在的边，在 \(G\) 中也不存在。

任取两点 \(u,v\) 不相邻，因为 \(G^\prime\) 是极大非哈密尔顿图，所以 \(p:u\to v\) 应该包括所有点，否则加入 \(u-v\) 也不能让 \(G^\prime\) 变成哈密尔顿图。仿照上例，取 \(d(u)+d(v)\) 最大的 \((u,v)\)，不失一般性，让 \(d(u)\le d(v)\)。

记 \(u\to v=p:p_1-p_2-\cdots-p_n\)，其中 \(u=p_1,v=p_n\)，设 \(S=\{p_i\in p:p_{i+1}\in p,p_{i+1}-p_1\in E\}\)， \(T=\{p_i\in p:p_i-v\in E\}\)。

必定有 \(S\cap T=\varnothing\)，否则假设 \(p_i\in S\cap T\)，\(p_i-p_{i-1}-\cdots-p_1-p_{i+1}-p_{i+2}-\cdots-p_{n}-p_i\) 是一个哈密尔顿环，与 \(G^\prime\) 是极大非哈密尔顿图矛盾。

又有 \(|S|=d(p_1),|T|=d(p_n)\)，且 \(p_1,p_n\not\in S,p_1\not\in T\)，于是 \(|S|+|T|=d(p_1)+d(p_n)<|p|=n\)，又有 \(d(p_1)\le d(p_n)\)，于是 \(d(p_1)<\frac n2\)。

由于选取的是 \(d(p_1)+d(p_n)\) 最大的路径，所以 \(\forall p_i\in S,d(p_1)\ge d(p_i)\)。那么至少有 \(|S\cup\{p_1\}|=d(p_1)+1\) 个顶点度数不超过 \(d(p_1)\)，此时取 \(k=d(p_1)\)，有 \(d_k\le k=d(p_1)<\frac n2\)。

根据假设的条件 \(d_k>k,k<\frac n2\lor d_{n-k}\ge n-k\)，此时必有 \(d_{n-k}\ge n-k\)。根据对度数序列的假设，至少有 \(k+1\) 个顶点的度数 \(\ge n-k\)，其中至少有一个点 \(x\) 和 \(p_1\) 不相邻（因为 \(p_1\) 只有 \(d(p_1)=k\) 个邻居），此时选取 \(p_1\to x\) 构成的路径，两者度数之和 \(d(x)+d(p_1)\ge n-k +k =n>d(p_1)+d(p_n)\)，与选取 \(p_1\to p_n\) 的路径时 \(d(p_1)+d(p_n)\) 最大的假设矛盾。

只能是假设不成立，不存在这样的 \(G\)。即所有满足条件的图都是哈密尔顿图。