算是考前笔记吧，但也不是十分无趣。

Notation

\(\mathbf{e}_i=(\delta_{i,1},\delta_{i,2}\ldots\delta_{i,n})\)，其中 \(\delta_{i,j}=\begin{cases}&1&i=j\\&0&\text{otherwise}\end{cases}\)。

\([x]\) 在 \(x\) 为真时为 \(1\)，为假时为 \(0\)。

文中的向量都默认是 \(1\times n\) 的。

多元函数的连续与极限

连续性

想一想单元函数是如何定义连续的，我们定义到 \(x\) 距离很小的一个邻域内的函数值之间的距离很小就可以了。然后推广到多元函数，比如这里就考虑的是一个很 \(\text{trivial}\) 的情形：\(f:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}\)，想到运用欧几里得距离定义距离是很自然的。

形式化的，如果 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n,\forall \mathbf{y}\in\mathbb{R}^n,\epsilon>0,\exists\delta,|\mathbf{y}-\mathbf{x}|\le \epsilon,|f(\mathbf{y})-f(\mathbf{x})|\le\delta\)，那么 \(f\) 在 \(\mathbf{x}\) 处就是连续的，这和一元的形式没有什么差别。

极限

极限也差不多，唯一的区别就是逼近的方向变得任意多了。这里和单元的情形一样是去心邻域，在 \(\mathbf{x}\) 处极限存在与否和在 \(\mathbf{x}\) 处有无定义无关。

多元函数的导数

偏导数

这大概是很常见的 \(\text{trcik}\)，也就是对 \(x\) 求导时把别的变量都视为常数的求导方法。

\(\#\) 这里的符号有点多，本文可能使用的有 \(\frac{\partial f}{\partial x}\) 和 \(f_x\)，都表示 \(f\) 对 \(x\) 求偏导。

还有一个值得注意的事情是，如果 \(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\) 存在，就称 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处关于 \(x\) 可偏导，如果关于 \(x,y\) 的偏导都存在，就称 \(f\) 在 \((x_0,y_0)\) 处可偏导。

方向导数

得到偏导数的启发，我们容易想到导数的方向可以是任意的，于是可以想到定义方向导数。形式化地，有

那么这个极限就被称为 \(f\) 在 \(\mathbf{x}\) 处沿 \(\mathbf{e}\) 方向的方向导数。当然，\(|\mathbf{e}|=1\) 的约束不是很必要，只要能约束方向即可。

还有一个值得注意的事情是上面的约束 \(c\to0^+\)，这很好理解，在给定的方向上，方向导数其实对应了单元情形中的左右导数。

全微分

考虑微小增量 \(\mathbf{d}\in\mathbb{R}^n\)，考虑计算 \(f(\mathbf{x}+\mathbf{d})-f(\mathbf{x})\)，一个非常线性的想法就是

这样类似做了一个多元的级数展开，然后保留线性项。不过这么写不是很优雅，可以用 \(o(|\mathbf{d}|)\) 把求和项中的小 \(o\) 项合并起来，就得到了

然后如果 \(c_i\) 和 \(\mathbf{d}\) 的选取无关，我们就得到了所谓的全微分，这时，我们就称 \(f\) 在 \(\mathbf{x}\) 处可微。这样的好处就是我们可以使用如下公式：

然后一个自然的问题就是我们如何求出 \(c_i\)，容易发现，选取 \(\mathbf{d}=\mathbf{e}_i\) 就可以把无关的 \(\mathbf{d}_i\) 变成 \(0\)，这样容易得到 \(c_i=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}_i}\)。这个东西就叫全微分公式。

\(\#\) 一个稍微有点有趣的事情是如果我们考虑更广泛的映射 \(f:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^m\)，那么可以定义真的微分 \(\mathbf{h}\in\mathbb{R}^n,\lim_{|\mathbf{h}\to0|}\frac{f(\mathbf{x}+\mathbf{h})-f(\mathbf{x})-\mathbf{A}\mathbf{h}}{|\mathbf{h}|}\)，这里的 \(\mathbf{A}\) 就是 \(f^\prime\)，是一个 \(m\times n\) 的矩阵，被称为 \(f\) 在 \(\mathbf{x}\) 处的微分。这个 \(\mathbf{A}\) 其实就是 \(\text{Jacobi}\) 矩阵。

可微的充要条件

其实应该挺多的，这里说一个常见的，可偏导且偏导连续。

大概的证明思路就是考虑裂项，考虑 \(\mathbf{c}_i=(\mathbf{d}_j[j\le i])\)，然后

这样相当于每次都只对一项求偏导，这样就变成了单元的情形，用 \(\text{Lagrange}\) 中值定理有 \(f(\mathbf{x}+\mathbf{c}_i)-f(\mathbf{x}+\mathbf{c}_{i-1})=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}_i}\big((\mathbf{x}+\mathbf{c}_{i-1})+\theta\mathbf{e}_i)\big),\theta\in(0,\mathbf{d}_i)\)，。

然后因为偏导数是连续的，然后 \(\mathbf{d}_i\) 最后肯定是趋于 \(0\) 的，所以这个就和 \(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}_i}\) 没有什么区别。于是就证完了。

梯度，散度和旋度

这里直接上了多元积分，但是应该问题不大。

梯度

我们定义 \(\bigtriangledown f=\mathbf{grad}f(\mathbf{x})=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}_i}(\mathbf{x})\mathbf{e}_i\)，也就是在 \(\mathbf{x}\) 处对各个分量的偏导数构成的向量。

这个东西有非常重要的实际含义，也就是变化率最大的方向，也就是说绝对值最大的方向导数的方向是 \(\mathbf{grad}f\) 而且其模恰好是 \(|\mathbf{grad}f|\)。

还有一个很几何的用处是 \(\mathbf{grad}f\) 是 \(f\) 的法向量（\(\text{normal vector}\)）。

散度

定义 \(\bigtriangledown\cdot\mathbf{f}=\mathbf{div}\mathbf{f}(\mathbf{x})=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\partial \mathbf{f}_i}{\partial \mathbf{x}_i}(\mathbf{x})\)。

散度主要是有一个 \(\text{Gauss}\) 定理，用 \(V\) 表示一个区域，\(\partial V\) 表示其边界，\(\mathbf{n}\) 表示某点的法向量，那么

比如在 \(3\) 维情况下就有

这个证明也比较简单，划分正方体即可。

旋度

这个是 \(3\) 维特有的定义

有个旋度定理，其实就是 \(\text{Stokes}\) 定理。

多元函数的复合

这里的复合很像矩阵，考虑 \(f:\mathbb{R}^m\mapsto\mathbb{R}^p,g:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^m\)，那么 \(f\circ g:\mathbb{R}^n\mapsto\mathbb{R}^p\)，这里我们是先作用 \(g\)，再作用 \(f\)。也就是 \(\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n\)，\((f\circ g)(\mathbf{x})=f\big(g(\mathbf{x})\big)\)。

链式法则

看到上面的形式我们就很想导一下，于是就得到了链式法则，这个过程非常自然没有什么好说的：

这个式子推导的时候其实就是先用全微分公式，然后对 \(g(\mathbf{x})\) 求偏导。所以约束也很 \(\text{trivial}\) 的就是 \(f\) 可微，\(g\) 可偏导。

一点解析几何

曲线的切线与法平面

参数方程

考虑一条曲线 \((x(t),y(t),z(t))\)，那么考虑切线，也就是点运动的方向，下一个点是 \((x(t+\text{d}t),y(t+\text{d}t),z(t+\text{d}t))\)，那用两点式很容易得到切线方程：

与切线垂直的平面就叫法平面，也容易写出方程：

\(\text{bonus}:\) 你要是说这个时候可不可以定义法向量，那就只能去问 Frenet 标架 了。

隐函数

还有一种给出曲线的方法是 \(\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}\)，这个时候也很简单。

先分别求出两个曲面的切平面 \(\alpha,\beta\)（求法在后面），然后切线 \(l\in\alpha,l\in\beta\Rightarrow l=\alpha\cap\beta\)。

最后贴一下公式，切线方程为

曲面的法向量与切平面

现在我们有一个曲面：\(F(x,y,z)=0\)，要求其法向量。

考虑任取一条轨迹 \(r(t)=(x(t),y(t),z(t))\)，\(r^\prime(t)=(x^\prime(t),y^\prime(t),z^\prime(t))\)，那么我们有

这时对 \(t\) 求导，就有

如果我们取两个不同方向的 \(r_1(t)\) 和 \(r_2(t)\)，则可以发现它们都与 \(\mathbf{grad}f\) 正交，这说明 \(\mathbf{grad}f\) 正是法向量，然后求切面方程也就显然了。

多元函数的极值

易知，\(\mathbf{grad}f(\mathbf{x})=\mathbf{0}\) 是 \(\mathbf{x}\) 为极值点的必要条件。

Hessian Matrix

在一元的时候，我们知道可以用 \(2\) 阶导判断极值点和鞍点，而在多元的时候，我们考虑采用 \(\text{Hessian}\) 矩阵。

颓一下柿子，其实我们就是想要任选一个方向 \(\mathbf{v}\)，都有 \(g:=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}},\frac{\partial g}{\partial \mathbf{v}}>0\)，这样就是最小值点，\(<0\) 则得到最大值点。

运用全微分公式，容易有 \(g=\frac{1}{|\mathbf{v}|}\mathbf{v}^T\mathbf{grad}f\)，这里不失一般性的假设 \(|\mathbf{v}|=1\) 以简化计算。

然后同理，

这里的 \(\mathbf{grad}(\mathbf{grad}f)^T\) 就记为 \(H_f(x)\) 被称为海塞矩阵。

容易发现，如果海塞矩阵是正定的，那就是最小值，负定的，就是最大值。除了半正定和半负定的情况也一定是鞍点。

Talyor 公式

容易发现，用海塞矩阵不能判断半正定和半负定的情况，然后我们想到在一元的时候判断驻点其实可以通过幂级数展开的系数看出来，而海塞矩阵就相当于 \(2\) 次的展开，那这样的话我们类似的展开就好了，这就引出了多元函数的 \(\text{Talyor}\) 公式。

和一元的差不多。我们假设 \(\varphi(t)=f(\mathbf{x}+t\mathbf{v})\)，其中 \(\mathbf{v}\) 是任意非零向量，这样我们就可以把 \(f\) 在 \(\mathbf{x}\) 点的值，沿 \(\mathbf{v}\) 方向展开，运用复合函数求导，可以得到

然后对 \(\varphi(1)\) 运用普通的 \(\text{Talyor}\) 公式就有：

如果想保留余项，那么也差不多，任意得到余项：

多元积分

累次积分

累次积分非常简单，可以理解为多层的 \(\sum\)，实际上两者也差不多。这个的交换和交换求和号差不多，大多数时候不太需要注意，但是无穷的时候最好小心一点。

比如 \(\int_0^1\int_0^1 x\text{d}y\text{d}x\)，内层关于 \(y\) 积分，就把 \(x\) 当作常数，得到 \(\int_0^1x\text{d}y=x\)，然后再计算外层积分即可。

一点外微分

一个 \([a_1,b_1]\times[a_2,b_2]\times\ldots\times[a_n,b_n]\) 的超立方体的“体积”，可以足够自然地认为是 \(\underbrace{\int_{a_1}^{b_1}\int_{a_2}^{b_2}\cdots\int_{a_n}^{b_n}}_{n\text{个}\int}1{\text{d}x_1\text{d}x_2\ldots\text{d}x_n}=\prod\limits_{i=1}^n(b_i-a_i)\)，但是如果我们交换其中一个积分的上下限，就会得到相反的结果，这启发我们积分是有方向的，这样的思路引出了外微分。

一点拓扑

我们有一种朴素的直觉，对于一个 \(2\) 维区域，比如 \(D:\{(x,y):x^2+y^2\le 1\}\) 的圆形区域，求其“长度”是不合理的，但是考虑 \(E:\{(x,y):x^2+y^2=1\}\) 对应的圆周，求其长度是自然的。

这就启发我们，考虑一个积分的区域（不妨把它叫做空间），其自由度，也就是变元数减去约束数，通常代表了这个空间的维度。

然后一个平凡的感知是对于一个 \(k\) 维空间，我们可以用一个 \(k\) 层积分表示其“体积”（可能是无限的），而这个“体积”是一个常数。

再想一想累次积分的时候，我们每次积分都消去了一个变元，一种很直观的想法就是积分是一种降低维度的手段。

微分形式

一个直接的观察是 \(\text{d}x_i\) 的数目与 \(\int\) 的数目应该相同，那么可以想到微分作为积分的逆运算，应该是升高维度的方法。

另外一个不是很容易发现，但是很易得的观察是每次的 \(\text{d}x_i,\text{d}x_j\)，\(x_i,x_j\) 应该是不同的。用线代语言改写一下就是线性无关。

首先，我们想要构造维度，那么把一个已有的线性空间 \(V\) 用张量积进行扩张时合理的想法，也就是给一个域 \(F\)（在多元微积分中通常是 \(\mathbb{R}\)，刚刚的线性空间 \(V\) 也是在 \(F\) 上满足数乘），有 \(T^0V=F,T^kV=\underbrace{V\otimes V\otimes\ldots\otimes V}_{n\text{个}V},T(V)=\bigoplus_{i=0}^\infty T^iV\)，其中 \(\bigoplus\) 表示直和。
\(\#\) 上面这个东西其实就是张量代数，可以自行了解其上的运算什么的。

通过张量代数，我们其实是定义了 \(P\wedge_{1\le i\le n} \text{d}x_i\) 这样的结构，但是其中可能有 \(\text{d}u\wedge\text{d}u\) 这样的东西（理论上，我们还不知道 \(\wedge\) 是什么东西，只是作为一个把 \(\text{d}x\) 连接起来的符号，这个运算的性质我们暂时不清楚），那代数上，一个很自然的想法就是把我们不想要的东西商掉，于是我们就把 \(\forall v\in V,v\otimes v\) 生成的理想 \(I\) 商掉，这样我们就得到了外代数空间：\(\wedge(V)=T(V)/I\)。

然后，称 \(\wedge^k(V)=T^kV/I\) 为 \(V\) 的 \(k\text{th-exterior power}\)（\(k\) 阶外幂）。然后我不会讲了，大家自己看吧（大雾）外代数。

楔积

我们引入了楔积：

1. \(x\wedge x=0\)
2. \(x\wedge y=-y\wedge x\)

可以看到，楔积是外积某种形式上的推广。

于是我们先考虑一类强化的积分，也就是有向的，这样积出来的 \(\int_D\omega\text{d}x\wedge\text{d}y\) 和寻常按照 \(\text{d}x\text{d}y\) 的就至多有一个符号的差别。（这里不考虑奇异的区域）

Jacobi 行列式

计算重积分的时候我们可能想换元：

这个时候，\(\text{d}\mathbf{x}_i\) 就会变成 \(\text{d}\mathbf{x}_i(\mathbf{y})=\sum\limits_{k=1}^n\frac{\partial \mathbf{x}_i}{\partial \mathbf{y}_k}\text{d}\mathbf{y}_k\)。

这个时候，网上的教程就会告诉你，这里用的是楔积，交换的代价是 \(-1\)，于是最后就得到了所谓的 \(\text{Jacobi}\) 行列式：

当然了，前面已经说明了楔积至多只会导致符号不同，所以这里实际上是先有了一个我们要刻画的积分区域 \(D\)，和一个微分形式 \(\omega\)，现在求 \(\int_D\omega\)，然后我们再找到合适的坐标系代入，这个代入的过程就叫 \(\text{pullback}\)。

比如我们要刻画 \(D:\{(x,y):x^2+y^2=1\}\)，考虑 \(\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}\)，那么 \(x-y\) 坐标下的一个圆就被映射到 \(r-\theta\) 坐标下的一条直线 \(r=1\) 上了（这里的 \(r-\theta\) 坐标的取值范围是 \(\mathbb{R}\times[0,2\pi)\)）。虽然几何上不一样，但是确实刻画了同样的区域。（这里其实是说这两个流形是同胚的，关于极坐标系和直角坐标系）

然后打表一下常用的换元：

\(\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases},\text{d}x\text{d}y=r\text{d}r\text{d}\theta\)。

\(\begin{cases}x=r\sin\varphi\cos\theta\\y=r\sin\varphi\sin\theta\\z=r\cos\varphi\end{cases},\text{d}x\text{d}y\text{d}z=r^2\sin\varphi\text{d}r\text{d}\varphi\text{d}\theta\)。

Stokes 公式

通用 stokes 公式

其中 \(M\) 是一个 \(n-\)维可定向流形，\(\partial M\) 是其边界，\(\text{d}\omega\) 是一个 \(n-\)维微分形式。

完整证明可以看这里，反正我目前没有看懂。看完这个也不用看本文这个低配版了╥﹏╥...

一些琐屑的应用

Green 公式

你不会不知道 \(\text{Green}\) 公式是在 \(2\) 维情形下使用的吧。

Gauss 公式

目测很显然，一个很离谱的事情就是之前讲散度的时候用默认是楔积了……

又一点解析几何

曲线长度

比如考虑一条空间曲线，\((x,y,z)\)，注意到曲线是 \(1\) 维形式，所以可以写成 \((x(t),y(t),z(t))\)，也就是 \(\text{pullback}\) 到 \(t\) 坐标系中。

然后用 \(\text{d}s\) 表示曲线的微分形式，可以有 \(|\frac{\text{d}s}{\text{d}t}|=\langle \frac{\text{d}s}{\text{d}t},\frac{\text{d}s}{\text{d}t}\rangle\)，其中 \(\langle\rangle\) 是对应空间中的内积（一般如此定义距离）。

比如使用欧几里得距离，就有 \(\text{d}s=\sqrt{(\frac{\text{d}x}{\text{d}t})^2+(\frac{\text{d}y}{\text{d}t})^2+(\frac{\text{d}z}{\text{d}t})^2}\text{d}t\)。

流形的测度

如果想求曲面面积或者，更广泛的，\(n\) 维超平面的测度。使用楔积，我们有一个自然的方法。

假设我们在 \(\mathbf{x}\) 坐标系中有一个子空间 \(D\) 是 \(m\) 维流形，那么可以把 \(D\) \(\text{pullback}\) 到 \(\mathbf{y}_{1\ldots m}\) 坐标系中。

很符合直觉的，\(\text{pullback}\) 应该是一个双射，实际上确实是这样的。（主要问题是这里没有严格定义 \(\text{pullback}\)……）那么我们可以考虑 \(r:\mathbf{y}\mapsto\mathbf{x}\) 是 \(\text{pullback}\) 的反向映射。

具体一点，比如常规的换元 \(\begin{cases}&x=x(u,v)\\&y=y(u,v)\\&z=z(u,v)\end{cases}\)，此时就有 \(r(u,v)=\big(x(u,v),y(u,v),z(u,v)\big)\)，如果你认识物理系的朋友，那你会知道这还有一种写法是 \(x(u,v)\mathbf{i}+y(u,v)\mathbf{j}+z(u,v)\mathbf{k}\)，其中 \(\mathbf{i,j,k}\) 是正交基，所以这其实也可以写成 \(r=x(u,v)\wedge y(u,v)\wedge z(u,v)\)。

感性理解一下，\(\mathbf{y}\) 坐标下自由度是刚刚好的，所以自然地有面积微元表达：

其中 \(r_i=\frac{\partial r}{\partial \mathbf{y}_i},i\in[1,m]\cap\mathbb{N}\) 就构成了所谓的切向量场。

这里，其实顺便就把 \(\text{Jacobi}\) 矩阵推导出来了（也就是 \(n=m\) 的情形）。

比如在 \(2\) 维的情况下，我们试着推导出传统的用内积 \(\langle\rangle\) 来刻画度量的方法，也就是

在 \(2\) 维的适合，楔积 \(\wedge\) 和外积 \(\times\) 相同，可以有

采用展开内积的时候已经默认采用常见意义下的内积。

这个时候有一个问题，就是如果维度更高，我们得到的 \(\text{d}S\) 会带一个 \(n\times m\) 的矩阵：

这时，一个很 \(\text{naive}\) 的度量 \(J\) 的方法就是

隐式构造局部测度

很多时候，我们不一定很容易得到参数方程的表达，只能得到一个 \(n\) 维空间 \(V^n\)，其中一个流形满足：\(D=\{\mathbf{x}:f_i(\mathbf{x})=0,i\in[1,n-k]\cap\mathbb{N}\}\)。

这个时候我们只能想办法直接在 \(V^n\) 中计算，第一步，使用狄拉克 delta 函数从 \(D\) 提取到 \(V^n\) 中（以后有空可能会讲一讲 \(\text{Dirac delta}\) 函数吧）：

但是目前，这个表达式是不合法的，因为 \(V^n\) 是 \(n\) 维流形，而 \(\omega\) 是 \(k\) 维形式。

观察一下可以感性理解到，\(\mathbf{grad}f_i\) 构成了法向量空间（法向量空间就是和切向量空间正交，且两者直和起来可以表示 \(V^n\) 向量空间）。

然后我们知道 \(\text{d}x\wedge\text{d}x=0\)，而我们正好不想要法向量空间中的那些向量，于是可以想到 \(\left(\bigwedge\limits_{i=1}^n\text{d}\mathbf{x}_i\right)\wedge\left(\bigwedge\limits_{i=1}^{n-k}\mathbf{grad}f_i\right)\)，这样就消去了我们不想要的方向。 （真是太感性理解辣）

后面的可以提出系数，然后留下的单位方向向量再消掉，所以我们只用关心前面的系数。

我们考虑每次只降低 \(1\) 维，每次的操作记为 \(\iota_{1\ldots n-k}\)（或者更高级的，叫嵌入），最后的嵌入就是这些嵌入的复合：\(\iota_1\circ\iota_2\circ\ldots\iota_{n-k}(\omega)\)。

比如考虑 \(S^2:\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=1\}\)，要求 \(\int_{S^2}\text{d}\mu(\mathbf{x})\)，其中 \(\mu\) 表示我们要求的是 \(S^2\) 的测度。

那么我们只有一个 \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0\)，易得 \(\mathbf{grad}f=(2x,2y,2z)\)。

具体插入一个向量进行嵌入时，我们遵循基本插入规则：

这个规则是怎么来的呢，其实就是假设现在有一组向量 \(\mathbf{b}\)，然后我想删除 \(\mathbf{v}\) 这个方向的向量，考虑从 \(\bigwedge\limits_{i=1}^n\mathbf{b}_i\) 中利用楔积的性质去除 \(\mathbf{v}\)，非常 \(\text{naive}\) 的一个想法就是考虑：

这样得到的 \(\mathbf{c}_{1\ldots n}\) 实际上只有 \(n-1\) 个线性无关的向量，和 \(\mathbf{v}\) 一同张成原本 \(\mathbf{b}\) 张成的空间。

然后在刻画一个微分形式的时候，一些向量本身就没有，这样替换就相当于什么也没有干，看上去就是直接替换对应元素了。

回到 \(S^2\) 的例子，可以得到

到了这里就是可以算的了（虽然不太容易）。经过一些，不太困难（？）的计算，我们得到了答案是 \(8\pi\)，高中生也知道我们做错了。这个悲伤的故事是因为我们在去除法向量的时候顺便进行了缩放，这导致答案不对。

此时，通过一些几何直觉，考虑 \(\text{Gram}\) 矩阵（其实就是应该把 \(\mathbf{grad}f_i\) 这组基单位化，然后正交化）：

这个是表示了法向量空间的测度，我们应该除掉。

上例中，\(\sqrt{|G|}=\sqrt{|\langle(2x,2y,2z),(2x,2y,2z)\rangle|}=2\)，除掉之后确实是对的。

可以得到通用算法