\({\color{Red}{警告}}\)：内部可能含有一些错误。

Notation

\(\mathbb{N,Z,Q,R}\) 表示自然数集（包括 \(0\)），整数集，有理数集，实数集。

\(G\) 通常表示一个群，\(R\) 通常表示一个 \(\text{unitary ring}\)。

小写字母 \(a,b,x,y,g,r\) 通常表示集合中的元素。

之前用 \(\text{Ker}\) 表示核，但是我突然发现 \(\LaTeX\) 自带的是 \(\ker\)，所以本文可能出现混用。因为 \(\text{\\im}\) 不是可以渲染的，所以还是用 \(\text{Im}\) 表示项。

Ring

Unitary Ring

之前在 [[Group Theory I]] 中模糊地定义了环，这里给出更严谨一点的定义。

如果一个代数结构 \((R,+,\times)\) 满足

1. \((R,+)\) 是 \(\text{Abel group}\)
2. \(a\times (b\times c)=(a\times b)\times c\)
3. \(a\times(b+c)=a\times b+a\times c\)

那么 \((R,+,\times)\) 就是一个 \(\text{ring}\)，可以简写为 \(R\)。

注意，和之前不同的是这里没有要求 \(\times\) 存在幺元，如果对 \(\times\) 存在幺元 \(1\)，那么 \(R\) 是一个 \(\text{unitary ring}\)（幺环）。

乘法幺元如果存在，一般记为 \(1\)（也有写 \(e\) 的），加法幺元一般记为 \(0\)，也称为零元。

\(\#\) 在相当多时候，说 \(\text{ring}\) 都默认是 \(\text{unitary ring}\)。这个需要结合上下文分析。这种情况下，有的人喜欢用 \(\text{ring}\) 表示 \(\text{unitary ring}\)，用 \(\text{rng}\) 表示 \(\text{ring}\)。我们也采用这种记法。

\({\color{red}\#}\) 一些混乱邪恶的作者会把乘法不满足结合律的结构也叫 \(\text{ring}\)。

\({\color{violet}\#}\) 更罕见的情形是有的作者认为 \(\text{ring}\) 对 \(\times\) 要是交换的，这样的 \(\text{ring}\) 我们称其为 \(\text{commutative ring}\)。

Unit

考虑 \((\mathbb{Z},+,\times)\) 这个环，显然不是所有元都有乘法逆元，但 \(\pm1\) 是有乘法逆元的。

更特殊的例子可以考虑 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)\)，此时那些满足 \(\gcd(a,n)=1\) 的 \(a\) 才有乘法逆元。

这个性质比较特殊，如果一个元素在 \(R\) 中存在乘法逆，则称其为一个 \(\text{unit}\)（单元）。

Subring

这个几乎不需要讲，就是 \(S\subset R\)，且 \(S\) 也是一个环，那么 \(S\) 就是 \(R\) 的 \(\text{subring}\)。

Zero Ring

如果一个 \(\text{ring}\) 中只有一个元素 \(0\)，那这个很 \(\text{trivial}\) 的 \(\text{ring}\) 就是一个 \(\text{zero ring}\)（零环）。

一个同样 \(\text{trivial}\) 的事实是：如果 \(0=1\)，那么 \(R\) 是 \(\text{zero ring}\)。这也是为什么我们不能定义 \(\frac{x}{0}\)，这会导致 \(\mathbb{R}=\{0\}\)。

Polynomial Ring

多项式环（\(\text{polynomial ring}\)）就是多项式构成的环（如说）。

比如我们考虑 \(x\)，那么一个多项式就是 \(\sum\limits_{i=0}^{n}a_ix^i\) 的式子，其中 \(n\in\mathbb{N}\cup\{+\infty\}\)，然后我们还需要确定 \(a_i\) 所属的集合，可以发现，只要 \(a_i\in K\)，\((K,+,\times)\) 可以构成一个环，那么容易自然地得到对应的多项式环。

\(\#\) \(\deg f\) 表示多项式 \(f\) 的度数（\(\text{degree}\)），也就是和式中的 \(n\)，特殊地，\(0\) 的度数为 \(-\infty\)。

Quotient Ring

Preparation

\(\text{Quotient}\) 在代数中是一个很重要的思想，大概就是一类东西具有相同的性质，所以我们把这样一类东西当作一个对象来看，正常来说，这样的性质可以形成对我们研究的集合的一个划分。实际上，\(\text{quotient ring}\) 的一个别名就是 \(\text{residue class ring}\)，也就是剩余类环。

最常见的例子还是同余类，我们只关心答案在 \(\bmod m\) 下的性质，所以就把集合 \(\overline{a}=\{a+km:k\in\mathbb{Z}\}\) 作为一个元素研究。（\(\#\) 这里再次使用同余的一个原因是同余下的 \((+,\times)\) 自然构成一个 \(\text{ring}\)）

那么我们想取出 \(\text{ring } R\) 的一个子集 \(I\)，得到一个 \(\text{quotient ring}\) \(R/I\)。参考上面的同余类，一个自然的想法就是构造同样的类 \(\overline{a}=\{a+i:i\in I\}\)，然后定义 \(R/I=\{\overline{r}:r\in R\}\)。比如同余下，我们就可以构造一个子集 \(I=\{km:k\in\mathbb{Z}\}\)，这样和初等数论中的直观定义是等价的。

在更抽象的层面上，我们希望总结出 \(I\) 的代数性质，为此，我们引入了 \(\text{ideal}\) 的定义。

Ideal

From Quotient Ring

类似 \(\text{quotient group}\) 中的讨论，我们希望 \(\overline{a}\cap\overline{b}\ne\varnothing\Leftrightarrow\overline{a}=\overline{b}\)。然后因为我们考虑的是 \(\text{ring}\)，所以我们希望 \(R/I\) 也是一个 \(\text{ring}\)。

可以从 \(\text{quotient ring}\) 上定义的 \(+,\times\) 入手。自然的想法就是 \(\overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b}\)，考虑集合加法的定义，我们可以想到有 \(I+I=I\)。

然后我们可以想到 \(\overline{a}\times\overline{b}=\overline{a\times b}\)，不太严谨地写，就是 \((a+I)\times(b+I)=(ab+I)\)，直接展开得到 \(ab+aI+Ib+II=ab+I\)。

此时，最 \(\text{naive}\) 的想法就是需要 \(aI+Ib+II=I\)，一个不那么容易注意到的想法是之前提出了 \(I+I=I\)，于是这里我们可以约束 \(aI=Ib=II=I\)。当然，容易注意到 \(II=I\) 在有前两者的条件下是不必要的。我们只需要约束 \(\forall r\in R,rI=Ir=I\)。

Ideal

上面的约束有点强，真正的 \(\text{ideal}\) 约束要弱一些，很多时候我们只要求一边，具体地

1. \((I,+)\) 是 \((R,+)\) 的 \(\text{subgroup}\)
2. \(\forall r\in R,\forall i\in I,ri\in I\)

这里只是定义了左理想，也就是在左边乘任意的 \(r\) 仍然得到自己，这样的性质被称为左吸收率。

如果把 \(ir\in I\) 改为 \(ir\in I\) 就可以定义右理想，既是左理想又是右理想的理想被称为双边理想（\(\text{two-sided ideal}\)）。根据 \(\ker\) 的定义，\(\ker\varphi\) 是一个 \(\text{two-sided ideal}\)（\(\text{ring homomorphism}\) 和 \(\text{group}\) 上的情形差不多，注意这里的 \(0\) 是 \((R,+)\) 的幺元）。

一个简单的理想的例子是多项式环上有着特定零点的多项式。由此，容易发现 \(\forall r\in R\)，\(Rr\) 是 \(\text{right ideal}\)，\(rR\) 是 \(\text{left ideal}\)，\(RrR\) 是 \(\text{two-sided ideal}\)。

Principal Ideal

此处开始，默认讨论的 \(\text{ideal}\) 都是 \(\text{left ideal}\)。

\(rR\) 是一个 \(\text{ideal}\)，那么一个自然的想法是研究 \(a_1R+a_2R=\{a_1r_1+a_2r_2:\forall r_1,r_2\in R\}\)。因为显然有 \(RR\subseteq R\)，于是 \(a_1R+a_2R\) 还是 \(R\) 的一个 \(\text{ideal}\)。

由此可以想到取出有限个元素 \(a_1,a_2\ldots a_m\)，\(\{\sum\limits_{1\le i\le m}a_ir_i:\forall r_i\in R\}\) 仍是一个 \(R\) 的 \(\text{ideal}\)，这样生成的理想就被称为 \(\text{principal ideal}\)（主理想），简写为 \(\overline{(a_1,a_2\ldots a_m)}\)。

\(\#\) 很多地方并不会在上面加一条线，这导致了丰富的问题，不过在没有歧义的情况下本文也不会打。有的地方的解决方案是用 \([a_1,a_2\ldots a_m]\) 代替之。

而 \(\overline{(0)}\) 会生成一个 \(\text{zero ring}\)，\(\overline{(1)}\) 会生成 \(R\) 本身，这两个理想就被称为平凡的理想（\(\text{trivial ideal}\)），分别有个名字 \(\text{zero ideal}\) 和 \(\text{unit ideal}\)，别的理想被称为非平凡的（\(\text{proper ideal}\)）。

此时一个可能有用的例子是考虑二元多项式环 \(\mathbb{C}[x,y]\)，比如我们只想考虑不含 \(xy\) 项的那些，我们就可以构造一个理想 \(\overline{(xy)}=\{xyf:f\in\mathbb{C}[x,y]\}\)，然后 \(\mathbb{C}[x,y]/\overline{(xy)}\) 就得到了我们想要的集合。

Field

如果 \(F\) 是一个 \(\text{ring}\) 并且不是 \(\text{zero ring}\)，其中 \(\forall a\in F,a\ne 0,\exists a^{-1}\in F,aa^{-1}=1\)，那么就称 \(F\) 为一个域（\(\text{field}\)）。

另一个等价的定义是 \(\text{field}\) 是只有平凡理想的 \(\text{ring}\)。

先证明第一个定义可以推出第二个定义。

假设 \(F\) 有一个非零理想 \(I\)，其可取出一个元素 \(i\in I,i\ne 0\)。根据 \(\text{ideal}\) 的定义，\(iR\subseteq I\)；根据 \(\text{field}\) 的第一个定义，\(i^{-1}\in I\)（极其不规范的写法），于是 \(ii^{-1}=1\in I\)。再用 \(\text{ideal}\) 的定义 \(1R=R\subseteq I\)，只能是 \(I=R\)，这是平凡的。

再考虑用第二个定义推出第一个。

考虑 \(\forall r\in R,r\ne 0\)，那么 \((r)\ne (0)\)，而 \(R\) 只有平凡理想，只能 \((r)=R\)，那么 \(\exists r^\prime\in R,rr^\prime=1\)。

Ring isomorphism theorem

类比群同构第一定理，我们可以想到

\(\varphi:R\mapsto S\) 是 \(\text{ring homomorphism}\)，那么 \(R/\ker\varphi\cong\text{Im}\varphi\)。

和 \(\text{group}\) 中的情形一样，猜测 \(\pi:r+\ker\varphi\mapsto \varphi(r)\) 是一个 \(\text{bijection}\)。

首先，如果 \(\varphi(r_1)=\varphi(r_2)\)，那么 \(\varphi(r_1+\ker\varphi)=\varphi(r_1)+0=\varphi(r_2)+0=\varphi(r_2+\ker\varphi)\)。

又有，如果 \(r_1+\ker\varphi=r_2+\ker\varphi\)，则有 \(r_1-r_2\in\ker\varphi\to\varphi(r_1)=\varphi(r_2)\)。

综上即可得证。

另外两个定理同样可以改写成环上的形式，只需要把 \(\text{group}\) 换成 \(\text{ring}\)（更多的时候，为了避免过于复杂的约束，是 \(\text{commutative ring}\)），把 \(\text{normal subgroup}\) 换成 \(\text{two-sided ideal}\)。

因为内容的排版出现了一些问题，本文到这里就先结束。咕咕咕咕咕咕。