大概是论文的翻译，我懒得实现了（咕咕咕，咕）万一有人实现出来比 \(\text{dijkstra}\) 快呢。

原文网址：A Randomized Algorithm for Single-Source Shortest Path on Undirected Real-Weighted Graphs

大意就是非负实数边权的期望复杂度比原版 \(\text{Dijsktra}\) 低的无向图单源最短路，只使用比较和 \(+\)，默认你会 斐波那契堆。

符号约定

\(G=(V,E)\) 表示图，\(V\) 表示点集，\(E\) 表示边集，不失一般性，\(G\) 是连通图。

我们认为图是比较稀疏的，也就是 \(m=o(n\log n)\)，否则这个算法和 \(\text{dijkstra}\) 就没有什么区别了。

\(s\) 表示起点，\(d(x,y)\) 表示 \(x\) 到 \(y\) 的最短距离，特别地 \(d(t)=d(s,t)\)。因为是无向图，总有 \(d(x,y)=d(y,x)\)。

\(w(x,y)=w_{x,y}\) 表示 \(x\) 与 \(y\) 之间的边权。

用 \(w\) 松弛 \(d(x,y)\) 表示 \(d(x,y)\leftarrow\min(d(x,y),w)\)。

用 \(x\rightarrow y\rightharpoonup z\rightarrow w\) 表示一条 \(x\) 到 \(w\) 的路径，中途经过 \(y,z\)，并且路径上 \(y\) 的下一个点是 \(z\)。

为什么可以这么快

你不要骗我，基于比较的最短路算法有下界 \(O(m+n\log n)\)。

复杂度下界的结论来自 A Shortest Path Algorithm for Real-Weighted Undirected Graphs | SIAM Journal on Computing。原文的结论更强一点，给出的下界是 \(O(m+n\min\{\log\log r,\log n\})\)，这里 \(r\) 是和值域相关的，我们这里考虑实数边权所以不用管。

但是原文的做法大概是说存在一种点的排列，使得你的复杂度一定可以达到这个下界，但是这里是随机化做法，所以期望复杂度可以更低。

准备工作：图的三度化

考虑一个点的邻居集合 \(N(u)=\{v:(u,v)\in E\}\)，我们把点 \(u\) 变成一个环，环上的边权都是 \(0\)，环上每个点都连接一个原本的 \(v\)，容易发现这样不影响 \(d\)。

如此，我们就得到一个有 \(O(m)\) 条边和 \(O(m)\) 个点的图，并且每个点的度数都不超过 \(3\)。

随机最短路

分块

奇怪的翻译

分块最短路

\(\text{Dijkstra}\) 是一个很好的算法，我们可以考虑随机撒点跑 \(\text{Dijkstra}\)，然后再维护散点到这些点的距离，最后计算出所有的 \(d\)。

形式化地，我们以一个概率 \(p\) 把点加入 \(R\)，只有 \(R\) 中的点会被加入堆中。

图分块与球

对于散点，一个很 \(\text{naive}\) 的想法就是把其归到距离最近的 \(u\in R\) 所属的“块”中（原文是 \(\text{bundle}\)，我不知道怎么翻译比较好）。

其实这个 \(\text{trick}\) 还是挺常见的，对于一个点 \(v\)，我们把 \(R\) 中距其最近的点记为 \(b(v)\)，形式化地，\(\forall r\in R,d(v,r)\geqslant d\big(v,b(v)\big)\)。同时，我们额外定义球：\(\text{Ball}(v)=\{u:d(v,u)<d\big(v,b(v)\big)\}\)。（这里和原文有点不一样，原文中 \(v\not\in\text{Ball}(v)\)，这里 \(v\in\text{Ball}(v)\)）

然后定义一个点所在的块为 \(\text{Bundle}(u)=\{v:b(v)=u\}\)。我们认为 \(b(u)=u,\forall u\in R\)，显然，所有 \(\text{Bundle}\) 构成了 \(V\) 的一个划分。

球的求解

注意到在 \(\text{Dijkstra}\) 算法中，每次从堆顶取出的点已经求得了最短路，于是 \(\forall v\not\in R\)，都跑一遍 \(\text{Dijkstra}\)，当堆顶取出的点在 \(R\) 中时就停止，这个点就是 \(b(v)\)。

我们记对于 \(v\) 求解 \(\text{Ball}(v)\) 时堆中压入的元素集合为 \(S_v\)，那么显然 \(\text{Ball}(v)\subset S_v\)，因为 \(b(v)\) 和堆中余下的元素不属于 \(\text{Ball}(v)\)。因为 \(R\) 是逐点随机选的，于是 \(\mathbb{E}(R)=mp,\mathbb{E}(|S_v|)=\frac1p\)。

因为我们已经把 \(G\) 三度化了，所以每次只会加入 \(O(1)\) 个点。于是堆中的元素个数也是 \(O(|S_v|)\)。

于是求解球的复杂度就是

算法思路

整点的最短路

整体的思路就是随机撒点跑普通 \(\text{Dijkstra}\)，然后跑了一个点 \(x\)，就要把其对应的块 \(\text{Bundle}(x)\) 中的点的最短路都处理好。

首先，我们考虑 \(r\in R\) 的点。

假设有一条路径 \(p:s\rightarrow x\rightarrow r\)，那么 \(|p|\ge d(s,x)+d(x,r)\)。

根据 \(\text{Bundle}\) 的定义，\(d(x,r)\ge d(x,b(x))\)，于是 \(|p|\ge d(s,x)+d(x,b(x))\)。因为 \(s\rightarrow b(x)\) 的最短路不一定经过 \(x\)，所以 \(|p|\ge d(s,x)+d(x,b(x))\ge d(s,b(x))\)。

然后我们取 \(p\) 是 \(s\rightarrow r\) 的最短路，那么 \(|p|=d(s,r)\ge d(s,b(x)),\forall x\in p\)，也就是对于路径上的点 \(x\)，都有 \(d(b(x))\le d(r)\)。

又发现 \(\forall x,b(x)\in R\)，根据每个块都会被处理好的假设，到 \(r\in R\) 的最短路上的点都会被处理好。

上面证明了，只要散点的最短路求出，整点 \(r\) 的最短路只能由已经处理好的点贡献。

非常 \(\text{naive}\) 的想法就是枚举所有可能的边，这样的边只能来自 \(\text{Bundle}(r)\) 和 \(x\in\text{Bundle}(r),N(x)\)。

对于 \(x\in \text{Bundle}(r)\)，用 \(d(x)+d(x,r)\) 松弛 \(r\) 即可。

对于 \(x\in \text{Bundle}(r),y\in N(x)\)，枚举 \(z\in N(y)\)，如果 \(z\in\text{Bundle}(r)\)，就用 \(d(y)+w(y,z)+d(z,r)\) 松弛 \(r\)。（注意到 \(y\) 只会有 \(O(1)\) 个邻居）

散点的处理

对于 \(v\not\in R\)，如果 \(s\rightarrow v\) 的最短路上的点 \(x\) 都满足 \(d(b(x))\le d(b(v))\)，那么和上面进行一样的处理就可以了。

假设最短路 \(p\) 上有至少一个点 \(y\) 满足 \(b(y)\ne b(v),d(b(y))\ge d(b(v))\)。取等是因为相同距离的 \(r\in R\) 弹出堆顶的时间也是不一样的，但如果 \(r_1,r_2\in R\)，这个差异不会影响答案，除非 \(d(r_1,r_2)=0\)，但这样的话 \(r_1,r_2\) 可以缩成一个点。

同时，这样的最短路 \(p\) 至少要满足 \(|p|=d(s,v)< d(s,b(v))+d(b(v),v)\)。因为 \(b(v)\in R\)，走到 \(b(v)\) 是可以不经过 \(y\) 的，\(b(v)\rightarrow v\) 的最短路也在 \(\text{Ball}(v)\) 内。如果 \(\ge\) 的话则和假设矛盾。

根据最短路的假设，我们知道 \(d(s,v)=d(s,y)+d(y,v)\)，也就是 \(d(y,v)=d(s,v)-d(s,y)\)。

根据假设，有 \(d(s,v)<d(s,b(v))+d(b(v),v)\) 和 \(d(b(y))<d(b(v))\)；根据三角不等式，又有 \(d(s,y)+d(y,b(y))\le d(s,b(y))\)。

可得

假设 \(z_1\) 是 \(p:s\rightarrow y\rightarrow v\) 上最后一个满足 \(d(y,z_1)\le d(y,b(y))\) 的点。根据 \(\text{Ball}\) 的定义，\(z_1\in\text{Ball}(y)\)。

如果 \(z_1=v\)，那么我们只需要用 \(N(v)\) 中的点松弛 \(v\) 就可以了。

否则，\(p\) 可表示为 \(s\rightarrow z_1\rightharpoonup z_2\rightarrow v\)，那么根据假设有 \(d(y,z_2)>d(y,b(y))\)。

因为 \(p\) 是最短路，所以有 \(d(y,v)=d(y,z_2)+d(z_2,v)\le d(b(v),v)+d(y,b(y))\)，立刻得到 \(d(z_2,v)<d(b(v),v)\)。

于是根据 \(\text{Ball}\) 的定义，我们知道 \(z_2\in\text{Ball}(v)\)。这样的话我们维护 \(d(v)\) 时枚举 \(z_1,z_2\) 即可。

Bundle Dijkstra

算法流程

总结一下上面的思路，我们稍微简化一下，可能还处理了一下正确性的细节，可以得到算法流程（已经三度化并求解 \(\text{Bundle}\) 和 \(\text{Ball}\)）：

首先，置 \(d(s)=0,\forall x\ne s,d(x)=+\infty\)，把 \(R\) 中的节点加入斐波那契堆（如果是 \(m=O(n)\) 的稀疏图，用别的堆也没有关系）。

然后，每次取出堆顶 \(u\)：

1. \(\forall v\in\text{Bundle}(u)\)，用 \(d(s,u)+d(u,v)\) 松弛 \(v\)（\(d(u,v)\) 在分块时已经求出），然后 \(\forall z_2\in\text{Ball}(v)\)，用 \(d(s,y)+d(y,v)\) 松弛 \(v\)，再 \(\forall z\in N(y)\)，用 \(d(s,z)+w(z,y)+d(y,v)\) 松弛 \(v\)。
2. 在上面的步骤完成后，\(\forall v\in\text{Bundle}(u),\forall y\in N(v),\forall z\in\text{Ball}(y)\)，用 \(d(s,v)+w(v,y)\) 松弛 \(y\)，用 \(d(s,v)+w(v,y)+d(y,z)\) 松弛 \(z\)。
3. 第二步中，松弛任意点 \(x\) 的同时用 \(d(s,x)+d(x,b(x))\) 松弛 \(b(x)\)。

正确性证明

要维护的性质

不妨设从 \(R\) 中取出的第 \(i\) 个点为 \(u_i\)，\(u_0=s\)，我们只需要证明下面 \(3\) 条性质：

1. 当 \(u\) 从堆顶被取出时，\(d(u)\) 已经是正确的
2. 同普通 \(\text{Dijkstra}\) 一样，满足 \(d(u_i)\ge d(u_j)\) 当 \(i\ge j\) 时。（注意这里是临时维护的答案，不是真的最短距离）
3. 进行 \(\text{Bundle Dijkstra}\) 后，\(\text{Bundle}(u_i)\) 中的点都确实是最短路

考虑数学归纳法。

初始情况

首先，\(u_0=s\)，\(\text{Bundle}(u_0)\) 中的点在求解 \(\text{Bundle}\) 时就已经处理好了，性质 \(1,3\) 显然正确。

然后此时只有 \(d(s)=0\)，\(\forall u_k\ne s,d(u_k)=+\infty\)，于是性质 \(2\) 也成立。

性质 1

假设 \(u_0\ldots u_{k-1}\) 都处理好了，下面证明对于 \(u_k\)，性质 \(1\) 成立。

设 \(\text{B}_i=\bigcup_{j=0}^i\text{Bundle}(u_j)\)，那么 \(B_{k-1}\) 就是已经处理好的点的集合，如果 \(s\rightarrow u_k\) 的最短路只经过了 \(B_{k-1}\) 中的点，那么显然是对的。（因为就和普通 \(\text{Dijkstra}\) 没有区别了）

设 \(p:s\rightarrow x\rightharpoonup y\rightarrow u_k\)，其中 \(x\) 是 \(p\) 上最后一个满足 \(x\in B_{k-1}\) 的点。

注意到 \(d(y,b(y))\le d(y,u_k)\)（如果 \(b(y)=u_k\)，成立；否则，根据 \(\text{Ball}\) 的定义，成立），于是

根据假设，可以知道 \(b(y)=u_l,l\ge k\)，根据假设有 \(d(b(y))\ge d(u_k)\)。

于是上面不等式链中的不等号全部应该是等于，那么 \(d(b(y))=d(u_k)=d(y)+d(y,b(y))\) 并且 \(d(y,b(y))=d(y,u_k)\)。根据算法步骤 \(2\)，\(b(y)\) 会作为 \(z\) 被枚举到。所以，如果此时 \(d(u_k)\) 不正确，那么先弹出的就应该是 \(b(y)\)，矛盾。故 \(d(u_k)\) 的值已经是正确的了。

性质 2

假设计算完 \(\text{Bundle}(u_k)\) 后，就出现了一个点 \(u_l\in R\) 满足 \(l>k>j\land d(u_l)<d(u_j)\)。那么这时计算的路径一定是 \(s\rightarrow x\rightarrow u_l\)，其中 \(x\in\text{Bundle}(u_k)\)。

仿照 整点的处理 一节中的做法，根据 \(\text{Ball}\) 的定义 \(d(x,u_l)\ge d(x,u_k)\)，而我们至多是用 \(d(x)+d(x,u_l)\) 来松弛 \(u_l\)，那么必有 \(d(u_l)\ge d(x)+d(x, u_k)\ge d(u_k)\ge d(u_j)\)，与假设矛盾。于是性质 \(2\) 总是成立。

性质 3

假设有一个点 \(v\in\text{Bundle}(u_i)\)，在计算完 \(u_i\) 之后，我们维护的 \(d^\prime(v)>d(v)\)。

设 \(s\) 到 \(v\) 真正的最短路为 \(p:s\rightarrow x\rightharpoonup y\rightarrow v\)，其中 \(x\) 是 \(p\) 上最后一个满足 \(x\in B_{i-1}\) 的点，那么就有 \(d(y,b(y))\ge d(y,u_i)\)。参考 散点的处理 一节，此时 \(p\) 也可写成 \(s\rightarrow x\rightharpoonup y\rightarrow z_1\rightharpoonup z_2\rightarrow v\) 的形式，\(z_1,z_2\) 的含义和之前相同。（这里其实省略一些特殊情况，因为 \(z_1,z_2\) 有可能就是 \(x,y\)）

在计算 \(\text{Bundle}(u_i)\) 之前，\(d(x)\) 就已经被正确地维护了，然后算法的步骤二中的 \(z\) 会找到这条最短路上的 \(z_1\)，并给出正确的 \(d(z_1)\)，否则 \(p\) 不会是最短路。

同时，\(d(z_2,v)\) 在求解 \(\text{Ball}\) 的过程中就被求出了，于是 \(d(s,z_1)+w(z_1,z_2)+d(z_2,v)\) 会给出正确的 \(d(v)\)，矛盾。性质 \(3\) 同样总是成立。

时间复杂度

易得，堆的复杂度为 \(O(|R|\log n)=O(mp\log n)\)。

然后预处理的复杂度为 \(O(\frac mp\log\frac 1p)\)。

\(\text{Bundle Dijkstra}\) 中看上去枚举了很多点，但是因为 \(\forall v\in V,|N(v)|\le 3\)，于是每个 \(\text{Ball}(v)\) 只会被枚举 \(O(1)\) 次，总的复杂度就是 \(O(\sum_{v\not\in R}|\text{Ball}(v)|)=O(\frac mp)\)。

求导易知 \(p=\sqrt{\frac{\log\log n}{\log n}}\) 时，总复杂度有最小值 \(O(m\sqrt{\log n\log\log n})\)。此时，在 \(m=O(n)\) 的情形下，我们已经可以比普通的 \(\text{Dijkstra}\) 算法优秀了。

非常数度图

可以看到之前的算法的瓶颈在于三度化之后有 \(O(m)\) 个点，但是其实可以不要求一个点的度数为 \(O(1)\)，把约束放宽到 \(\forall v\in V,\deg v\le k\)，重新分析复杂度。

首先，我们还是要重新建图，此处复杂度为 \(O(m)\)，但是新图只会有 \(O(\frac mk)\) 个点。

接着需要求解所有的 \(\text{Ball}\) 和 \(\text{Bundle}\)，这里的堆中会有 \(|S_v|k\) 个点，但是只会弹出堆顶 \(|S_v|\) 次，使用合适的数据结构（比如 \(\text{fib}\) 堆）可以做到 \(O(\sum_{v\in V} |S_v|k+|S_v|\log(|S_v|k)=O(m+\frac mk\log m)\) 的复杂度。

然后对 \(\text{Bundle}\) 间进行 \(\text{Dijsktra}\)，这里的复杂度是 \(O(k\sum_{v\not\in R}|\text{Ball}(v)|)=O(\frac mp)\)。

总的复杂度为 \(O(m+\frac mk\log m+\frac mp)\)，注意到在稀疏图中 \(\log m=O(\log n)\)，如果取

可以得到复杂度为 \(n\sqrt{\log n\log\log n}\) 和 \(\sqrt{mn\log n}\)，