真的是随笔捏_(￣▽￣)\(\text{*}\)，完全没有逻辑。

前言

我们考虑一个问题：线性代数为什么叫代数？如果你学得叫矩阵与行列式计算，那这个学科应该叫矩阵分析。（好吧，在一些学校还真叫这个名字）

这里假设你会一点线代和代数。（顺便推销自己的代数笔记，其实里面的东西也不用全会就能看懂本文了）

线性空间（Linear space）

数学上，一个集合装备一些性质都可以叫空间，比如有了距离就叫度量空间或距离空间；有了范数就叫赋范空间。

线性这个概念大家也比较熟悉，考虑一个数域 \(\mathrm{F}\) 和一个集合 \(\mathrm{V}\)。

然后 \((V,+)\) 构成一个群，且 \(1\in F\)，\(\forall v\in V,1\cdot v=v,\forall \alpha,\beta\in \mathrm{F},(\alpha\beta)v=\alpha(\beta v)\in V\)。

这样的 \((F,V,+,\cdot)\) 就被称为一个线性空间，\(\mathrm{V}\) 中的元素被称为向量（\(\text{vector}\)）。考虑 \(\mathbb{R}^2\) 上的向量，上面的约束是很直观的。

除了常见的 \(\mathrm{F}^n\) 以外，矩阵 \(\mathrm{F}^{n\times m}\) 和多项式 \(\mathrm{F}[x]=\{f(x):f(x)=\sum\limits_{i=0}^na_ix^i,a_i\in\mathrm{F},n\in\mathbb{N}\}\) 都可以构成线性空间。

线性空间的维数

基

对于维数，我们有直观的感受，点是 \(0\) 维，线是 \(1\) 维，面是 \(2\) 维……把这一的概念推广到线性空间上其实挺自然的。从简单的 \(3\) 维直角坐标系中，我们可以发现，\(1\) 个向量表示一族直线，\(2\) 个向量表示一族平面，\(3\) 个向量表示整个 \(3\) 维空间。

上面的说法几乎是对的，但还有一些特殊情况，比如共面的向量就不能表示整个空间什么的。

此时，我们距离线性表出和基的概念就很近了。可以看到，共面的 \(3\) 个向量不能表示整个空间的原因在于其中 \(1\) 个可以被另外 \(2\) 个的线性组合表示出来。如果发生了这一的事，我们就称这个向量被另外两个向量线性表出（否则则称它们线性无关）。形式化地讲，

如果没有发生这样的事，\(3\) 个向量应该可以线性表出这个立体空间中的所有向量，这样的一组向量被称为该空间的一组基（\(\text{base}\)）。具体一点

还有一种反过来考虑的方法叫张成，也就是考虑一组向量可以表示的空间，有个符号 \(\text{span}(v_1,v_2\ldots v_n)\)。

然后为了避免基里面有一些不重要的向量，也就是那些可以被别的线性表出的，之后默认基中的向量都是线性无关的，这样的一组向量被称为极大无关组。

现在，我们可以放心地约定维数等于极大无关组的大小，维数记为 \(\dim V\)。

商空间（Quotient space）

之前提到了，\(2\) 个线性无关的向量在 \(3\) 维空间中表示的是一组平面（因为可以平移），这样的东西让我们想到商群。又发现平面是沿着一条线在动，直线是在一个面上动。

于是，几乎直觉地，有 \(\sim_U:a\sim b\Leftrightarrow a+U=b+U\)，把 \(V/\sim_U\) 简写为 \(V/U\)，然后就可以感觉到 \(\dim V=\dim V/U+\dim U\)。

虽然本文几乎不想写证明，但这个命题可以证一下，作为常用技术的展示。

考虑 \(V/U\) 的一组基 \(v_1+U,v_2+U\ldots v_n+U\)，\(U\) 的一组基 \(u_1,u_2\ldots u_m\)。按照定义 \(\forall v\in V,\exists k_i\in\mathrm{F},v+U=\sum\limits_{i=1}^nk_i(v_i+U)=(\sum\limits_{i=1}^nk_iv_i)+U\)。

这时一个常见的 \(\text{trick}\) 是作差，考虑到 \(\big(v-(\sum\limits_{i=1}^nk_iv_i)\big)+U=0+U\)，有 \(\big(v-(\sum\limits_{i=1}^nk_iv_i)\big)\in U\)，于是 \(\exists l_i\in\mathrm{F},\big(v-(\sum\limits_{i=1}^nk_iv_i)\big)=\sum\limits_{i=1}^ml_iu_i\)，再移项就可以知道 \(\text{span}(v_1,v_2\ldots v_n,u_1,u_2\ldots u_m)=V\)。于是 \(\dim V=n+m=\dim V/U+\dim U\)。

线性变换

仿照代数中我们做的，考虑完整体的结构，现在差不多该考虑一个类型群作用的东西了。这个呢就是线性变换，网上讲的很多了，像线性变换可以自然推导出矩阵乘法之类的。

考虑 \(\varphi_A(x):\mathrm{F}^m\mapsto\mathrm{F}^n,\varphi_A(x)=Ax\)，这样就是一个线性映射。

考虑 \(\ker\varphi_A\)，简写为 \(\ker A\)（这里是因为 \(\LaTeX\) 内置的是小写，其实 \(\text{k}\) 大小写都可以），其实就是方程 \(Ax=0\) 的根，在一般的线代教材中被称为矩阵的零空间，有的地方记为 \(N(A)\) 或者 \(\text{null}(A)\)。

然后是 \(\text{im} A\)（为了和上文一致，这里也小写）。这个就是 \(Ax\) 可以表示的向量构成的空间，有的地方写成 \(\text{range}(A)\)。

我们熟知 \(|G|=|\ker\varphi||\text{im}\varphi|\)，在线代中，\(\text{rank}\) 或 \(\dim\) 才真正地刻画了空间的大小，于是我们有一种直觉 \(m=\dim\ker A+\dim\text{im} A\)。

这个结论其实很直观，就是说线性方程组解的维度加上有效方程的个数等于总方程的个数。

之后我们还会想看看在一个线性变换 \(A\) 下的不动点，但这样比较 \(\text{trivial}\)，于是我们可以考虑更弱一点的约束：\(A:V\mapsto W\)，\(T\subset V,A(T)\subset T\)，这样的 \(T\) 被称为 \(A-\)不变子空间。（这个东西要有用得等一段时间了）

行空间与列空间

我们一般会看到可以把矩阵按照行或者列分成一组向量，这样得到的向量的张成可以构成行空间和列空间。

列空间有专门的名字 \(\text{col}(A)\)，行空间则可以用 \(\text{col}(A^T)\) 表示。

dim 的性质

定义空间的和 \(V_1+V_2=\{v_1+v_2:v_1\in V_1,v_2\in V_2\}\)。

那么 \(\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim V_1\cap V_2\)。这个看上去也很自然，证明考虑一组基就可以了。

如果 \(V_1\cap V_2=\varnothing\)，那么定义直和 \(V_1\oplus V_2=V_1+V_2\)。（和笛卡尔积比较类似，但是注意在线代中我们直接相加而不是并列放置）

还有一个比较显然的事是 \(\dim\text{im}A=\text{r}(A)\)。

现在我们研究一下线性变换的复合的性质。

\(\ker(A+B)\) 性质不明显，只能说 \(\ker A\cap\ker B\subset\ker(A+B)\)。

\(\ker AB\) 的性质好一些，其表示 \(ABx=0\) 的解空间，只需要 \(Bx\) 在 \(\ker A\) 中就可以了，于是 \(\ker AB=\ker A\cap\text{im}B\)。

在这里提及转置是合理的，考虑 \(\ker(A^T)\)，如果整体转置，可以发现其等价于 \(xA=0\) 的解空间。所以我们只需要考虑 \(x\) 在右的情形。

\(\text{im}(A+B)\) 不是很好表示，应该是 \(\text{im}A\) 和 \(\text{im}B\) 中对应元素之和。

考虑 \(\text{im}AB\)，运用结合律可以考虑 \(A(Bx)\)，\(Bx\) 显然可以取到 \(\text{im}B\)，于是相当于考虑 \(A:\text{im}B\mapsto\text{im}A\)。运用在“线性变换”中提到的等式，得到 \(\dim\text{im}B=\dim\text{im}AB+\dim\ker AB\)。

Thm

最早是看到相关的证明觉得很有趣所以去学了这个技术。

1

\(\text{r}(ABC)\ge\text{r}(AB)+\text{r}(BC)-\text{r}(B)\)

首先看更简单的情形：\(\text{r}(AB)\ge\text{r}(A)+\text{r}(B)-\text{r}(E)\)。

考虑

再考虑

就得到了结论。

2

\(\text{r}(A^TA)=\text{r}(A)\)

有

只需要证明 \(\dim\ker A^TA=0\)，也就是 \(\ker A^T\cap\text{im}A=\{0\}\)。（注意是只有一个零向量而不是为空）

这里有一个常见的 \(\text{trick}\)，考虑 \(x\in\ker A^TA\)，取 \(x^Tx\)，注意到 \(x\in\ker A^T\wedge x\in\text{im}A\)，于是 \(\exists y,x=Ay\)，那么 \(x^T=y^TA^T\)，于是 \(x^Tx=y^TA^Tx=y^T0=0\)。从而 \(\| x\|_2=0\)，\(x=0\)。于是得证。