万物皆数

摘要：【本系列目录】 01 - 数学的皇后 02 - 整除与公约数 03 - 同余和剩余系 04 - 同余方程 05 - 指数和原根 06 - 不定方程 博客总目录 数学的主题是数和形，它们是最基础、最久远的数学概念。克罗内克说过：“上帝创造了自然数，其它都是人的作品”，所以我们选择从数开始说起。数论（N 阅读全文

摘要：当从这里开始的时候，你的行囊里不需要太多的东西，只要会整数的加减乘除即可。东西多了不仅帮不了你，反而会成为前进的负担。正如在前两篇中一样，你需要首先抛开一切固有思维，清空大脑，带着孩童般的好奇心重新认识这个世界。由于数论经常出现于奥数和智力题中，它往往被当成一种智力游戏，但随着研究的深入，你需要建立 阅读全文

摘要：1. 同余 公约数是我们要讨论的主要整数关系，对整数\(m\)而言，其它整数与它的关系以\(m\)为周期出现着重复，具体讲就是任何整数和带余除法中的余数是等价的。为此我们可以在整数中建立另一种等价关系，如果\(m\mid a-b\)，则称\(a,b\)在模\(m\)下同余，记做\(a\equiv b 阅读全文

摘要：1. 同余方程 剩余类可以看做是一个新的数系，它对加减乘运算是封闭的，所以同余方程对多项式是有意义的。本节我们就来讨论一元多项式方程（1）的解，当然它的解是一个剩余类集合，最多有\(m\)个解。 \[f(x)=\sum_{k=0}^{n}{a_kx^k}=a^nx^n+\cdots+a_1x+a_0 阅读全文

摘要：1. 指数 现在我们就开始为剩余系建立“坐标”，完全剩余系是连续的，剩余类本身就是很好的坐标，所以这里我们只需讨论既约剩余系。前面已经知道\((a,m)=1\)时，总存\(d\)在使得\(a^d\equiv 1\pmod{m}\)，满足条件的最小的\(d_0=\delta_m(a)\)称为\(a\) 阅读全文

摘要：前面介绍的只是初等数论的基本概念，它有很多的应用场景，如果有机会以后我们还会看到，这里我只想单独举出不定方程的例子。不定方程又叫丢潘图方程，它们以整数（或有理数）为变量和参数，而且有两个以上的未知数，多以多项式形式出现。不定方程既是数论的应用，也是数论理论形成的来源，对不定方程的思考会动用起你全部的 阅读全文